Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E．

（1）求證：△AED≌△CEB′；

（2）求證：點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上；

（3）若AB=8，AD=3，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°

∵∠B′EC=∠DEA，

在△AED和△CEB′中，

∴△AED≌△CEB′（AAS）；

（2）∵△AED≌△CEB′，

∴EA=EC，

∴點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上．

（3）陰影部分的周長(zhǎng)為AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，

=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，

=AD+DC+AB′+B′C，

=3+8+8+3

=22．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)折疊和矩形性質(zhì)可得B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∠B′EC=∠DEA，由AAS可得△AED≌△CEB′；（2）由（1）可得EA=EC，∴點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上；（3）陰影部分的周長(zhǎng)為AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，=AD+DC+AB′+B′C，代入數(shù)據(jù)可得.

考點(diǎn)：折疊問題、三角形全等的判定、線段垂直平分線性質(zhì)