Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D在直線AB上，連接CD，并把CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CE．

（1）如圖1，點(diǎn)D在AB邊上，線段BD、BE、CD的數(shù)量關(guān)系為　 　．

（2）如圖2，點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)，請(qǐng)猜想線段BD、BE、CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）如圖3，點(diǎn)D在點(diǎn)A左側(cè)，BC＝，AD＝BE＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）結(jié)論：BE2+BD2＝2CD2（2）結(jié)論：BE2+BD2＝2CD2（3）

【解析】

（1）如圖1中，連接DE，易證△ACD≌△BCE（SAS），得到AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，得到∠A＝∠CBA＝45°，則∠ABE＝90°，有DE2＝BD2+BE2，DE＝CD，得到BE2+BD2＝2CD2．

（2）整體思路如（1）先證△ACD≌△BCE，然后找出DE2＝BD2+BE2，利用DE＝CD，即可得證

（3）如圖3中，連接DE．先求出BD，然后利用前兩問(wèn)結(jié)論直接代入計(jì)算即可

解：（1）結(jié)論：BE2+BD2＝2CD2．

理由：如圖1中，連接DE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABE＝90°，

∴DE2＝BD2＝BE2，

∵DE＝CD，

∴BE2+BD2＝2CD2．

（2）結(jié)論：BE2+BD2＝2CD2．

理由：如圖2中，連接DE．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABE＝∠EBD＝90°，

∴DE2＝BD2+BE2，

∵DE＝CD，

∴BE2+BD2＝2CD2．

（3）如圖3中，連接DE．

∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC＝2，

∴AD＝BE＝1，

∴BD＝3，

由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2，

∴9+1＝2EC2，

∴EC＝．