Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)線段AB與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，以線段AB為斜邊作Rt△ABC，且邊BC⊥x軸，則稱AC+BC的值為線段AB的直角距離，記作L（AB）；當(dāng)線段AB與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，線段AB的直角距離不存在．

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，4），B（4，2），求L（AB）．

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)B（x，y），且L（AB）＝2．

①當(dāng)點(diǎn)B（x，y）在第一象限時(shí)，易知AC＝x，BC＝y．由AC+BC＝L（AB），可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　 　，其中x的取值范圍是　 　，在圖②中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象．

②請(qǐng)模仿①的思考過程，分別探究點(diǎn)B在其它象限的情形，仍然在圖②中分別畫出點(diǎn)B在二、三、四象限時(shí)，y與x的函數(shù)圖象．（不要求寫出探究過程）

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1），在拋物線y＝a（x﹣h）2+5上存在點(diǎn)B，使得2≤L（AB）≤4．

①當(dāng)a＝﹣時(shí)，直接寫出h的取值范圍．

②當(dāng)h＝0，且△ABC是等腰直角三角形時(shí)，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①y＝－x+2，0＜x＜2，圖象詳見解析；②y＝x+2或y＝－x－2或y＝x－2，圖象詳見解析；（3）①或或或；②或．

【解析】

（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可；

（2）①由A(0，0)，B(x，y)，且點(diǎn)B(x，y)在第一象限，L(AB)＝2，易得：x+y＝2，從而得到答案；

②根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)及點(diǎn)B所在象限，L(AB)＝2，分象限討論即可得出答案畫出圖形；

（3）①先求出特殊情況時(shí)對(duì)應(yīng)的h，令－(x－h)2+5＝1，得x＝h+4或x＝h－4，再分情況討論，構(gòu)建不等式解決問題即可；

②由是等腰直角三角形，且2≤L(AB)≤4，利用特殊點(diǎn)，分別求解即可．

解：（1）∵A(1，4)，B(4，2)，

∴L(AB)＝AC+BC＝（4－1）+（4－2）＝5；

（2）①∵A(0，0)，B(x，y)，且點(diǎn)B在第一象限，L(AB)＝2，

∴x+y＝2，

∴y＝－x+2，（0＜x＜2），圖象如圖所示；

故答案為：y＝－x+2，0＜x＜2；

②當(dāng)B在第二象限時(shí)，－x+y＝2，

∴y＝x+2，圖象如圖所示；

當(dāng)B在第三象限時(shí)，－x－y＝2，

∴y＝－x－2，圖象如圖所示；

當(dāng)B在第四象限，x－y＝2，

∴y＝x－2，圖象如圖所示；

（3）①當(dāng)－(x－h)2+5＝1時(shí)，x＝h+4或x＝h－4，

當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，2≤L(AB)≤4,

當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，2≤L(AB)≤4,

故h的取值范圍為：或或或；

②∵是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

又∵L(AB)=AC+BC，且2≤L(AB)≤4，

∴1≤AB≤2，1≤BC≤2，

∴如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過B(2，2)時(shí)，L(A，B)＝2，此時(shí)2＝4a+5，解得a＝，

當(dāng)拋物線經(jīng)過B′(3，3)時(shí)，L(A，B)＝4，此時(shí)3＝9a+5，解得a＝，

當(dāng)拋物線經(jīng)過B″(－1，3)時(shí)，L(A，B)＝4，此時(shí)3＝a+5，解得a＝－2，

觀察圖象可知，滿足條件的a的值為：或．