Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），直線l與x軸正半軸夾角為30°，點B為直線l上的一個動點，延長AB至點C，使得AB=BC，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線l于點F，過點A作AE∥l交直線CD于點E．

(1)、若點B的橫坐標為6，則點C的坐標為(______，_____)，DE的長為 ；

(2)、若點B的橫坐標大于3，則線段CF的長度是否發(fā)生改變？若不變，請求出線段CF的長度；若改變，請說明理由；

(3)、連結(jié)BE，在點B的運動過程中，以O(shè)B為直徑的⊙P與△ABE某一邊所在的直線相切，請求出所有滿足條件的DE的長．

Answer 1

【答案】(1)、C(9，)；DE=；(2)、證明過程見解析；(3)、DE的長為或或

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)題意求出點C的坐標及DE的長度；(2)、過點A作AM⊥x軸于M，根據(jù)tan∠BOA的值求出AM的長度，然后證明△ABM和△CBF全等，從而得出CG=AM；(3)、本題需要分三種情況進行分類計算，首先分別畫出圖形，然后分別進行計算.

試題解析：(1)、C(9，) , DE=;

(2)、如圖（1），過點A作AM⊥x軸于M ，∴∠OAM=90°, ∠BOA=30°, ∴AM=OAtan∠BOA=．

∵B為AC的中點， ∴AB=BC 又∵AM∥CF, ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

∴△ABM≌△CBF ∴CF=AM=． ∴線段CF的長度保持不變．

(3)、如圖1，過點B作BG⊥x軸于點G．易證， OB=2BG ,CD=2BG,

∴OB=CD．

(I)當點D在點A的右側(cè)時，⊙P只能與BE相切，如圖2．

設(shè)DE=, 則OB=CD=． ∵⊙P與BE相切于點B，

∴OB⊥BE． 易得BF=EF=．

∴OF=OB+BF=． ∴OF=2DF, ∴=．

解得． ∴ DE=．

（II）當點D在線段OA上時，①若⊙P與直線AE相切，如圖3，

易得，直線l與AE的距離是． ∴ OB=3． ∴ CD=3． ∴DE=2CF-CD=．

②當⊙P與AB相切，如圖4． ∴∠OBA=90°． ∴OB=OAtan∠OBA=. ∴CD=.

∴ DE=2CF-CD==．

(III)當點D在點O的左側(cè)時，⊙P只能與直線AE相切，如圖5 ∵ 直線l與AE的距離是，

∴ OB=3．∴ CD=3． ∴ DE=2CF+CD=．

綜上所述，DE的長為或或 ．