Question

【題目】如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°，過點(diǎn)C作⊙O切線交AB延長線于點(diǎn)D．

(1)求證：CD=CB；(2)如果⊙O的半徑為，求AC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)+1.

【解析】

（1）首先連接OB，則∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，由∠AOC=150°，易得△OBC是等邊三角形，又由過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，易求得∠CBD=∠D=75°，繼而證得結(jié)論；

（2）由⊙O的半徑為，可求得AB=2，CD=BC=OC=，易證得△DBC∽△DCA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

(1)連接OB，則∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=OBA=45°，

∵∠AOC=150°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=15°，∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，

∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，

∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，

∴∠CBD=∠D，∴CB=CD；

(2)在Rt△AOB中，AB=OA=×=2，∵CD是⊙O的切線，∴∠DCB=∠CAD，

∵∠D是公共角，∴△DBC∽△DCA，∴，∴CD2=ADBD=BD（BD+AB），

∵CD=BC=OC=，∴2=BD（2+BD），解得：BD=﹣1，∴AC=AD=AB+BD=+1．