Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過(guò)程中的不變性質(zhì)，常常可以找到解決問(wèn)題的辦消去．著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中有這樣一個(gè)例子：請(qǐng)問(wèn)如何在一個(gè)三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點(diǎn)X和Y，使得AX=BY=XY．（如圖）解決這個(gè)問(wèn)題的操作步驟如下：

第一步，在CA上作出一點(diǎn)D，使得CD=CB，連接BD．第二步，在CB上取一點(diǎn)Y'，作Y'Z∥CA，交BD于點(diǎn)Z'，并在AB上取一點(diǎn)A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，過(guò)點(diǎn)A作AZ∥A'Z'，交BD于點(diǎn)Z．第四步，過(guò)點(diǎn)Z作ZY∥AC，交BC于點(diǎn)Y，再過(guò)點(diǎn)Y作YX∥ZA，交AC于點(diǎn)X．

則有AX=BY=XY．

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．

∴ ．

同理可得．∴．

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過(guò)程中的不變性質(zhì)，常常可以找到解決問(wèn)題的辦消去．著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中有這樣一個(gè)例子：請(qǐng)問(wèn)如何在一個(gè)三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點(diǎn)X和Y，使得AX=BY=XY．（如圖）解決這個(gè)問(wèn)題的操作步驟如下：

第一步，在CA上作出一點(diǎn)D，使得CD=CB，連接BD．第二步，在CB上取一點(diǎn)Y'，作Y'Z∥CA，交BD于點(diǎn)Z'，并在AB上取一點(diǎn)A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，過(guò)點(diǎn)A作AZ∥A'Z'，交BD于點(diǎn)Z．第四步，過(guò)點(diǎn)Z作ZY∥AC，交BC于點(diǎn)Y，再過(guò)點(diǎn)Y作YX∥ZA，交AC于點(diǎn)X．

則有AX=BY=XY．

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．

∴ ．

同理可得．∴．

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過(guò)程，判斷四邊形AXYZ的形狀，并加以證明；

（2）請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)閱讀上面的操作步驟，在（1）的基礎(chǔ)上完成AX=BY=XY的證明過(guò)程；

（3）上述解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY，從而確定了點(diǎn)Z，Y的位置，這里運(yùn)用了下面一種圖形的變化是　 　．

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱(chēng) D．位似

Answer 1

【答案】（1）四邊形AXYZ是菱形，證明詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）D.

【解析】

（1）四邊形AXYZ是菱形．首先由“兩組對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形”推知四邊形AXYZ是平行四邊形，再由“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得結(jié)論；

（2）利用菱形的四條邊相等推知AX=XY=YZ．根據(jù)等量代換得到AX=BY=XY．

（3）根據(jù)位似變換的定義填空．

（1）四邊形AXYZ是菱形．

證明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，

∴四邊形AXYZ是平行四邊形．

∵ZA=YZ，

∴平行四邊形AXYZ是菱形．

（2）證明：∵CD=CB，

∴∠1=∠3．

∵ZY∥AC，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴YB=YZ．

∵四邊形AXYZ是菱形，

∴AX=XY=YZ．

∴AX=BY=XY．

（3）通過(guò)作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY，從而確定了點(diǎn)Z，Y的位置，此時(shí)四邊形BA'Z'Y'∽四邊形BAZY，所以該變換形式是位似變換．

故答案是：D（或位似）．