Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線，OD平分∠BOC交拋物線于點D（點D在第一象限）．

（1）求拋物線的解析式和點D的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BPD的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）點M是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點N，使A、D、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）∵OA=2

∴A（﹣2，0）

∵A與B關(guān)于直線對稱

∴B（3，0），

由于A、B，兩點在拋物線上，

∴；

解得；

∴

過D作DE⊥x軸于E

∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC

∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，

∴DE=OE

即x_D=y_D，

∴，

解得x₁=2，x₂=﹣3（舍去）

∴D（2，2）；

（2）存在

∵BD為定值，

∴要使△BPD的周長最小，只需PD+PB最小

∵A與B關(guān)于直線對稱，

∴PB=PA，只需PD+PA最小

∴連接AD，交對稱軸于點P，此時PD+PA最小，

由A（﹣2，0），D（2，2）可得

直線AD：

令，

∴存在點，使△BPD的周長最小

（3）存在．

（i）當AD為平行四邊形AMDN的對角線時，MD∥AN，即MD∥x軸

∴y_M=y_D，

∴M與D關(guān)于直線對稱，

∴M（﹣1，2）

（ii）當AD為平行四邊形ADNM的邊時，

∵平行四邊形ADNM是中心對稱圖形，△AND≌△ANM

∴|y_M|=|y_D|，

即y_M=﹣y_D=﹣2，

∴令，即x²﹣x﹣10=0；

解得，或，

綜上所述：滿足條件的M點有三個M（﹣1，2），或，﹣2）．