Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠ABC=90°，

∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

即OD⊥CD，

∵點D在⊙O上，

∴CD為⊙O的切線

（2）解：在Rt△OBF中，

∵∠ABD=30°，OF=1，

∴∠BOF=60°，OB=2，BF= ，

∵OF⊥BD，

∴BD=2BF=2 ，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴S陰影=S扇形OBD﹣S△BOD= ﹣ ×2 ×1= π﹣ ．

【解析】（1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數，又由S陰影=S扇形OBD﹣S△BOD ， 即可求得答案．