Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、(在左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，若將它的圖象向上平移4個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

(1)原拋物線的函數(shù)解析式是 .

(2)如圖①，點(diǎn)是線段下方的拋物線上的點(diǎn)，求面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)如圖②，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，連接，在線段上是否存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形且為直角三角形?若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；（2）最大值，點(diǎn)P的坐標(biāo)(,)；(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)：(,)或(,)

【解析】

(1)根據(jù)題意可推導(dǎo)出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求出拋物線的解析式；

(2)過P作x軸的垂線交BC于N，則△PBC的面積分成△PNC和△PNB的面積之和，設(shè)出P的坐標(biāo)，則△PBC的面積與P的坐標(biāo)可建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行求解即可；

(3)分類討論并設(shè)出M的坐標(biāo)，表示出MQ和MC的長，建立方程，求解即可.

解：(1)由題知，原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4)

設(shè)原拋物線的解析式為

則

∴即

（2）如圖，過P作x軸的垂線交BC于N

令，則

∴即B(5,0)，A(1,0)

令，則

∴C(0,5)

∴直線BC的解析式為

設(shè)P(,),則N(，)

∴PN=

∴

由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時，有最大值，且最大值為

此時P(,)

（3）①如圖所示，當(dāng)∠BQM=90°時

設(shè)Q(,0)，則M(,)

則BQ=MQ=

∴BM=

又BC=

∴CM=

∵△CMQ為等腰三角形

∴=

解得：

此時M(,)

②如圖所示：當(dāng)∠BMQ=90°時

若△CMQ為等腰三角形，則△BMQ也為等腰三角形，則CM=BM=QM

此時M為BQ的中點(diǎn)

由(1)知：B(5,0)，C(0,5)

∴M(,)

綜上所述，滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)或M(,)