Question

△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的動點，BD=mCD，AE=nEC，AD與BE相交于點O．
（1）如圖1，當m=2，n=1時，

OB

BE

=

 

，

S△AOE

S四邊形CDOE

=

 

；
（2）當m=1.5時，求證：

OA

OD

=

5AE

3CE

；
（3）如圖2，若CO的延長線交AGB于點F，當m、n之間滿足關(guān)系式

 

時，AF=2BF．（直接填寫結(jié)果，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）過點E作EF∥BC，交AD于F，根據(jù)n=1可知點E是AC的中點，所以EF=

1

2

DC，再根據(jù)m=2可以整理出EF與BD的比，從而得到OB與OE的比值，

OB

BE

可得；根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，先求出△AEF與△ACD的比值，再根據(jù)等高的△AEF與△OEF面積的比等于底邊的比求出△AEF與△OEF的面積的比，然后用△OEF的面積表示出△AEF的面積，然后結(jié)合圖形解答；
（2）過點D作DF∥AC交BE于點F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可以得到

OA

OD

=

AE

FD

，

FD

CE

=

BD

BC

，然后再把BD=mCD，AE=nEC代入即可得到OA、OD、AE、CE四條線段與m、n的關(guān)系，把m=1.5代入計算即可得證明；
（3）同（2）的思路，過點D作DH∥AB交FC于點H，可以得到AF、FB與m、n的關(guān)系，然后把AF=2BF代入即可得到m、n的關(guān)系．

解答：（1）解：過點E作EF∥BC，交AD于F，
∴

EF

CD

=

AE

AC

，
∵AE=EC，
∴

EF

CD

=

1

2

，
∵BD=2CD，
∴

EF

BD

=

1

4

，
∵

OB

OE

=

BD

EF

=4，
∴

OB

BE

=

4

5

，
∴

S△AEF

S△ACD

=

1

4

，
∵

AF

AD

=

1

2

，

OF

OD

=

EF

BD

=

1

4

，
∴

OF

AF

=

1

5

，
設(shè)S_△OEF=x，則S_△AEF=5x，S_△ABC=20x，
∴S_△AOE=6x，S_{四邊形CDOE}=14x，
∴

S△AOE

S四邊形CDOE

=

3

7

；

（2）證明：如圖，過點D作DF∥AC交BE于點F，
∴

OA

OD

=

AE

FD

，

FD

CE

=

BD

BC

，
∵BD=mCD，AE=nEC，
∴FD=

BD

BC

×CE=

m

m+1

CE，
∴

OA

OD

=

AE

CE

•

m+1

m

，
∵m=1.5，
∴

OA

OD

=

AE

CE

•

5

3

，
即

OA

OD

=

5AE

3CE

；

（3）解：過點D作DH∥AB交FC于點H，與（2）同理可得，

OA

OD

=

AF

DH

，

DH

BF

=

CD

BC

，
∵BD=mCD，
∴DH=

CD

BC

•BF=

1

m+1

BF，
∴

OA

OD

=

AF

BF

（m+1），
∵

OA

OD

=

AE

CE

•

m+1

m

，AE=nEC，
∴

AF

BF

=

AE

CE

•

1

m

=

n

m

，
∴當AF=2BF時，

n

m

=2，
解得n=2m．
故答案為：（1）

4

5

，

3

7

；（3）n=2m．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度較大，極富挑戰(zhàn)性．