Question

如圖，在平面直角坐標系中，∠AB0=90°，將直角△AOB繞D點順時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在x軸上的點B1處，點A落在A1處，若B點的坐標為（，），則點A1的坐標是___

Answer 1

(4，-3)

△A₁B₁O是由△ABO旋轉(zhuǎn)得到的，所以O(shè)B=OB₁，OA=OA₁，A₁B₁=AB，知道B點坐標，就可以根據(jù)勾股定理求出OB=OB₁的長；過B作出△AOB的高，再利用射影定理求出CA的長，從而求出OA=OA₁的長，再次利用勾股定理求可以求出A₁的坐標．

解：過B作BC⊥OA于C，
∵B點的坐標為（，），
∴OB²=（）²+（）²，
∴OB=4，
∵BC²=OC?CA，
∴（）²=?CA，
∴CA=，
∴OA=OC+CA=+=5，
∴OA=OA₁=5，
在△A₁B₁O中：（OA₁）²=（OB₁）²+（A₁B₁）²，
∴5²=4²+（A₁B₁）²，
∴A₁B₁=3，
∴A₁的坐標是（4，-3）．
故答案為：（4，-3）．
此題主要考查了旋轉(zhuǎn)、勾股定理和射影定理，題目綜合能力較強，難度適中．