Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)和點B(3，0)．P為該拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式．

（2）將該拋物線沿y軸向下平移AB個單位長度，點P的對應(yīng)點為P′，若OP=OP′，求△OP P′的面積．

（3）如圖2，連接AP，BP，設(shè)△APB的面積為S，當(dāng)-2≤m≤2時，直接寫出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）S的最大值為5

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先根據(jù)A,B的坐標(biāo)求出AB的長度，進(jìn)而可求出拋物線平移的距離，根據(jù)OP=OP′可得出x軸是PP′的垂直平分線，從而可知P點的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出相應(yīng)的橫坐標(biāo)，最后利用面積公式即可求解；

（3）設(shè)點P的縱坐標(biāo)為y，根據(jù)題意得，然后分兩種情況，當(dāng)點P在x軸上方時和點P在x軸下方時，分別求出y的最大值，進(jìn)而分別求出S的最大值，最終即可確定答案．

解：（1）將代入中，得

解得

∴則該拋物線的解析式為；

(2)∵，

∴AB=4，

，

∴拋物線是向下平移了2個單位長度， PP′=2．

∵OP=OP′

∴x軸是PP′的垂直平分線，

∴點P的縱坐標(biāo)為1．

當(dāng)y=1時，，

解得 ，

∴ 或，

∴△O PP′的面積為或；

(3)S的最大值為5，理由如下：

將拋物線轉(zhuǎn)換成頂點式，得．

設(shè)點P的縱坐標(biāo)為y，

由題意得，

當(dāng)點P在x軸上方時，m=1時，取最大值，

∵當(dāng)時，，

∴S的最大值為；

當(dāng)點P在x軸下方時，時，取最大值，

∵當(dāng)時， ，

∴S的最大值為；

∴當(dāng) 時，S的最大值為5．