Question

【題目】問題提出：將正m邊形(m≥3)不斷向外擴(kuò)展，每擴(kuò)展一個(gè)正m邊形每條邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(以下簡(jiǎn)稱“點(diǎn)數(shù)”)就增加一個(gè)，則n個(gè)正m邊形的點(diǎn)數(shù)總共有多少個(gè)？

問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取將一般問題特殊化的策略，先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：

探究一：n個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有多少個(gè)？

如圖1﹣1，1個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有3個(gè)；如圖1﹣2，2個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有6個(gè)；如圖1﹣3，3個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有10個(gè)；…；n個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有　 　個(gè)．

探究二：n個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有多少個(gè)？

如圖2﹣1，1個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有4個(gè)；如圖2﹣2，2個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有9個(gè)；

如圖2﹣3，連接AC，得到兩個(gè)三角形△ABC和△ADC，這兩個(gè)三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個(gè)數(shù)的點(diǎn)，即4個(gè)點(diǎn)，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個(gè)點(diǎn)直至頂點(diǎn)A，每個(gè)三角形都有10個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)三角形就是2×10個(gè)點(diǎn)．因?yàn)檫@兩個(gè)三角形在AC上有4個(gè)點(diǎn)重合，所以3個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有2×10﹣4＝16(個(gè))．

如圖2﹣4，4個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有　 　個(gè)；……n個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有　 　個(gè)．

探究三：n個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有多少個(gè)？

類比探究二的方法，求4個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有多少個(gè)？并敘述你的探究過程．

n個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有　 　個(gè)．

探究四：n個(gè)正六邊形的點(diǎn)數(shù)總共有　 　個(gè)．

問題解決：n個(gè)正m邊形的點(diǎn)數(shù)總共有　 　個(gè)．

實(shí)際應(yīng)用：若99個(gè)正m邊形的點(diǎn)數(shù)總共有39700個(gè)，求m的值．

Answer 1

【答案】探究一：；探究二：25，(n+1)2；探究三：(n+1)(3n+2)；探究四：(n+1)(2n+1)；問題解決：；實(shí)際應(yīng)用：m=10

【解析】

探究一：n個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總個(gè)數(shù)是前(n+1)個(gè)數(shù)的和；

探究二：4，9，16，25…，發(fā)現(xiàn)n個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有(n+1)2個(gè)；

探究三：如圖3﹣1，直接數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5個(gè)，如圖3﹣2，連接AC，AD，得到三個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有6個(gè)點(diǎn)，就是3×6＝18個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有3個(gè)點(diǎn)重合，所以，2個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：3×6﹣2×3＝12個(gè)；同理得如圖3﹣3，3個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：3×10﹣2×4＝22個(gè)；如圖3﹣4，4個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：3×15﹣2×5＝35個(gè)，確定規(guī)律得：n個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：個(gè)；

探究四：如圖3﹣1，直接數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)，如圖4﹣2，連接A'C'，A'D'，A'E'，得到4個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有1+2+3＝6個(gè)點(diǎn)，就是24個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有3個(gè)點(diǎn)重合，所以，2個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：4×6﹣3×3＝15個(gè)；同理得點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：28，45＝5×9，…，(n+1)(2n+1)個(gè)；

問題解決：根據(jù)以上規(guī)律可得結(jié)論；

實(shí)際應(yīng)用：將n＝99代入問題解決的等式中解方程即可．

解：探究一：

如圖1﹣1，1個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有3個(gè)，即3＝1+2；

如圖1﹣2，2個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有6個(gè)，即6＝1+2+3；

如圖1﹣3，3個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有10個(gè)，即10＝1+2+3+4；

…；

n個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有：個(gè)；

故答案為：；

探究二：

如圖2﹣1，1個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有4個(gè)，即4＝22；

如圖2﹣2，2個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有9個(gè)，即9＝32；

如圖2﹣3，連接AC，得到兩個(gè)三角形△ABC和△ADC，這兩個(gè)三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個(gè)數(shù)的點(diǎn)，即4個(gè)點(diǎn)，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個(gè)點(diǎn)直至頂點(diǎn)A，每個(gè)三角形都有10個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)三角形就是2×10個(gè)點(diǎn)．因?yàn)檫@兩個(gè)三角形在AC上有4個(gè)點(diǎn)重合，所以3個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有2×10﹣4＝16(個(gè))，即16＝42；

如圖2﹣4，連接AC，得到兩個(gè)三角形△ABC和△ADC，這兩個(gè)三角形相同之處在于，BC邊與CD邊都有相同個(gè)數(shù)的點(diǎn)，即5個(gè)點(diǎn)，并且與BC、CD平行的邊上依次減少一個(gè)點(diǎn)直至頂點(diǎn)A，每個(gè)三角形都有15個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)三角形就是2×15個(gè)點(diǎn)．因?yàn)檫@兩個(gè)三角形在AC上有5個(gè)點(diǎn)重合，所以4個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有2×15﹣5＝25(個(gè))，即25＝52；

∴n個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有個(gè)；

故答案為：25，(n+1)2；

探究三：

如圖3﹣1，1個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有5個(gè)，即；

如圖3﹣2，連接AC，AD，得到三個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有6個(gè)點(diǎn)，就是3×6＝18個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有3個(gè)點(diǎn)重合，所以，2個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：3×6﹣2×3＝12個(gè)，即；

如圖3﹣3，連接A'C'，A'D'，得到三個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有10個(gè)點(diǎn)，就是3×10＝30個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有4個(gè)點(diǎn)重合，所以，3個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：3×10﹣2×4＝22個(gè)，即；

如圖3﹣4，連接AC，AD，得到三個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有15個(gè)點(diǎn)，就是3×15＝45個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有5個(gè)點(diǎn)重合，所以，4個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：3×15﹣2×5＝35個(gè)，即；

…

同理得：n個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：(n+1)(3n+2)個(gè)；

故答案為：(n+1)(3n+2)；

探究四：

如圖4﹣1，1個(gè)正六邊形的點(diǎn)數(shù)總共有6個(gè)，即6＝2×3；

如圖4﹣2，連接A'C'，A'D'，A'E'，得到4個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有6個(gè)點(diǎn)，就是4×6＝24個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有3個(gè)點(diǎn)重合，所以，2個(gè)正六邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：4×6﹣3×3＝15個(gè)，即15＝3×5；

如圖4﹣3，連接AC，AD，AE，得到4個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有10個(gè)點(diǎn)，就是4×10＝40個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槊績(jī)蓚�(gè)三角形有4個(gè)點(diǎn)重合，所以，3個(gè)正六邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：4×10﹣3×4＝28個(gè)，即28＝4×7；

…

同理得：4個(gè)六五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：5×9＝45個(gè)；

n個(gè)正六邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：(n+1)(2n+1)個(gè)；

故答案為：(n+1)(2n+1)；

問題解決：

∵n個(gè)正三角形的點(diǎn)數(shù)總共有：(n+1)(n+1)個(gè)；

n個(gè)正四邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：(n+1)(n+1)個(gè)；

n個(gè)正五邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：(n+1)(n+1)個(gè)；

n個(gè)正六邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：(n+1)(2n+1)個(gè)；

…

∴n個(gè)正m邊形的點(diǎn)數(shù)總共有：個(gè)；

故答案為：；

實(shí)際應(yīng)用：

由規(guī)律得：n＝99時(shí)，，

解得：m＝10．