Question

【題目】如圖，以線段AB為直徑作⊙O，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D， 連接BE，過(guò)點(diǎn)O作OC∥BE交切線DE于點(diǎn)C，連接AC ．

（1）求證：AC是⊙O的切線 ；

（2）若BD=OB=4，求弦AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題（1）連結(jié)OE，根據(jù)條件證明△AOC≌△EOC，進(jìn)而得出∠CAO=∠CEO =90°即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，可求出線段AE的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：連結(jié)OE，

因?yàn)?/span>CD與⊙O相切于點(diǎn)E，所以OECD，所以∠CEO =90°，

因?yàn)?/span>OC∥BE，所以∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，

因?yàn)?/span>OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，所以∠AOC=∠COE，

因?yàn)?/span>OA=OE，OC=OC， 所以△AOC≌△EOC，

所以∠CAO=∠CEO =90°， 所以AC是⊙O的切線 ；

（2）解：在Rt△DEO中，因?yàn)?/span>BD=OB， 所以BE=OD=OB=4，

又因?yàn)?/span>OB=OE， 所以△AOC是等邊三角形，所以∠ABE=60°，

因?yàn)?/span>AB為直徑，所以∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，AE=tan60°BE=．