Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)，B(－2，0)，C(6，0)．過點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E.M是四邊形OADE的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為(0，－2)．

(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；

(2)當(dāng)點(diǎn)P，Q分別從C，F(xiàn)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度沿CB，F(xiàn)A的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中，以P，Q，O，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x＋4，四邊形OADE為正方形；（2）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，S＝t2－5t＋12；當(dāng)2＜t＜6時(shí)，S＝4.

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三點(diǎn)，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式中，聯(lián)立方程解出a、b、c．
（2）過M作MN⊥OE于N，則MN=2，由題意可知CP=FQ=t，當(dāng)0≤t<2時(shí)，OP=6-t，OQ=2-t，列出S與t的關(guān)系式，當(dāng)t=2時(shí)，Q與O重合，點(diǎn)M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形，當(dāng)2<t<6時(shí)，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可證三角形全等，進(jìn)而計(jì)算出三角形面積．

（1）∵拋物線經(jīng)過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，
，
解得a= ，b=，c=4．
∴拋物線的解析式為y=－x2＋x＋4．
四邊形OADE為正方形．

(2)根據(jù)題意可知OE＝OA＝4，OC＝6，OB＝OF＝2，

∴CE＝2，CO＝FA＝6.

∵運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

∴CP＝FQ＝t.

過點(diǎn)M作MN⊥OE于點(diǎn)N，則MN＝2.

如圖，

當(dāng)0≤t＜2時(shí)，OP＝6－t，OQ＝2－t，

∴S＝S△OPM＋S△OPQ＝ (6－t)×2＋ (6－t)(2－t)＝ (6－t)(4－t)，

即S＝t2－5t＋12.

當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)M，O，P，Q不能構(gòu)成四邊形．

如圖，

當(dāng)2＜t＜6時(shí)，連結(jié)MO，ME，則MO＝ME且∠QOM＝∠PEM＝45°.

∵FQ＝CP＝t，F(xiàn)O＝CE＝2，

∴OQ＝EP，

∴△QOM≌△PEM，

∴S四邊形OPMQ＝S△MOE＝×4×2＝4.

綜上所述，當(dāng)0≤t＜2時(shí)，S＝t2－5t＋12；

當(dāng)2＜t＜6時(shí)，S＝4.