Question

如圖：把一個矩形如圖折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，折痕為EF．
（1）找出圖中的全等三角形．
（2）△DEF是什么三角形，并證明．
（3）連接BE，判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形，BD與EF有什么關(guān)系？并證明．

Answer 1

解：（1）△A′ED≌△CFD；

（2）△DEF是等腰三角形．理由如下：
∵矩形沿EF折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，
∴∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠FED，
∴∠DFE=∠FED，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形；

（3）連BE、BD，如圖，四邊形BEDF是菱形，BD與EF相互垂直平分．理由如下：
∵矩形沿EF折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，
∴FB=FD，EB=ED，
由（2）得DE=DF，
∴DE=EB=BF=FD，
∴四邊形BEDF是菱形，
∴BD與EF相互垂直平分．
分析：（1）由于矩形沿EF折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=A′D，∠A′=∠A=90°，∠BFE=∠DFE，而AB=CD，則A′D=DC，利用AD∥BC得到∠BFE=∠FED，則∠DFE=∠FED，所以DE=DF，根據(jù)直角三角形全等的判定方法得到Rt△A′ED≌Rt△CFD；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BFE=∠DFE，又AD∥BC，得到∠BFE=∠FED，則∠DFE=∠FED，于是DE=DF，所以△DEF是等腰三角形；
（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到FB=FD，EB=ED，由（2）得DE=DF，得到DE=EB=BF=FD，根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形BEDF是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD與EF相互垂直平分．
點(diǎn)評：本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．也考查了全等三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．