如圖:把一個矩形如圖折疊,使頂點(diǎn)B和D重合,折痕為EF.
(1)找出圖中的全等三角形.
(2)△DEF是什么三角形,并證明.
(3)連接BE,判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形,BD與EF有什么關(guān)系?并證明.

解:(1)△A′ED≌△CFD;

(2)△DEF是等腰三角形.理由如下:
∵矩形沿EF折疊,使頂點(diǎn)B和D重合,
∴∠BFE=∠DFE,
∵AD∥BC,
∴∠BFE=∠FED,
∴∠DFE=∠FED,
∴DE=DF,
∴△DEF是等腰三角形;

(3)連BE、BD,如圖,四邊形BEDF是菱形,BD與EF相互垂直平分.理由如下:
∵矩形沿EF折疊,使頂點(diǎn)B和D重合,
∴FB=FD,EB=ED,
由(2)得DE=DF,
∴DE=EB=BF=FD,
∴四邊形BEDF是菱形,
∴BD與EF相互垂直平分.
分析:(1)由于矩形沿EF折疊,使頂點(diǎn)B和D重合,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=A′D,∠A′=∠A=90°,∠BFE=∠DFE,而AB=CD,則A′D=DC,利用AD∥BC得到∠BFE=∠FED,則∠DFE=∠FED,所以DE=DF,根據(jù)直角三角形全等的判定方法得到Rt△A′ED≌Rt△CFD;
(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BFE=∠DFE,又AD∥BC,得到∠BFE=∠FED,則∠DFE=∠FED,于是DE=DF,所以△DEF是等腰三角形;
(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到FB=FD,EB=ED,由(2)得DE=DF,得到DE=EB=BF=FD,根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形BEDF是菱形,然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD與EF相互垂直平分.
點(diǎn)評:本題考查了折疊問題:折疊前后兩圖形全等,即對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等.也考查了全等三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:新課標(biāo)3維同步訓(xùn)練與評價·數(shù)學(xué)·九年級·上 題型:044

把一個矩形如圖折疊,使頂點(diǎn)B和D重合折痕為EF.

問題:(1)找出圖中全等的三角形,并證明.

(2)重合部分是什么圖形?證明你的結(jié)論.

(3)連接BE,判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形,BD與EF有什么關(guān)系?并證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(10分)

問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時,經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.

問題解決

如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小.

解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.

∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

類別應(yīng)用

(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克和元/千克(a、b是正數(shù),且a≠b),試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.

 (2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M1、N1的大小(b>c).

 

 

 

 

 

 

 

聯(lián)系拓廣

小剛在超市里買了一些物品,用一個長方體的箱子“打包”,這個箱子的尺寸如圖4所示(其中b>a>c>0),售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進(jìn)行捆綁,吻哪種方法用繩最短?哪種方法用繩最長?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(10分)

問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時,經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.
問題解決
如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大。

解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
類別應(yīng)用
(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克和元/千克(a、b是正數(shù),且a≠b),試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.
(2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M1、N1的大小(b>c).
聯(lián)系拓廣
小剛在超市里買了一些物品,用一個長方體的箱子“打包”,這個箱子的尺寸如圖4所示(其中b>a>c>0),售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進(jìn)行捆綁,吻哪種方法用繩最短?哪種方法用繩最長?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省鹽城市鹽都區(qū)七年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

教材第九章中探索乘法公式時,設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗證了乘法公式.我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽,早在公元3世紀(jì),就把一個矩形分成四個全等的直角三角形,用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形(如圖①),這個圖形稱為趙爽弦圖,驗證了一個非常重要的結(jié)論:在直角三角形中兩直角邊、與斜邊滿足關(guān)系式,稱為勾股定理.

(1)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖②),也能驗證這個結(jié)論,請你幫助小明完成驗證的過程.
(2)小明又把這四個全等的直角三角形拼成了一個梯形(如圖③),利用上面探究所得結(jié)論,求當(dāng)=3,=4時梯形ABCD的周長.
(3) 如下圖,在每個小正方形邊長為1的方格紙中,△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上.請在圖中畫出△ABC的高BD,利用上面的結(jié)論,求高BD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省鹽城市鹽都區(qū)七年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

教材第九章中探索乘法公式時,設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗證了乘法公式.我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽,早在公元3世紀(jì),就把一個矩形分成四個全等的直角三角形,用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形(如圖①),這個圖形稱為趙爽弦圖,驗證了一個非常重要的結(jié)論:在直角三角形中兩直角邊與斜邊滿足關(guān)系式,稱為勾股定理.

(1)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖②),也能驗證這個結(jié)論,請你幫助小明完成驗證的過程.

(2)小明又把這四個全等的直角三角形拼成了一個梯形(如圖③),利用上面探究所得結(jié)論,求當(dāng)=3,=4時梯形ABCD的周長.

(3) 如下圖,在每個小正方形邊長為1的方格紙中,△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上.請在圖中畫出△ABC的高BD,利用上面的結(jié)論,求高BD的長.

 

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