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【題目】已知：如圖，點E、F、G、H分別在菱形ABCD的各邊上，且AE=AH=CF=CG．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形；

（2）若AB=6，∠A=60°．

①設BE=x，四邊形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數表達式；

②x為何值時，四邊形EFGH的面積S最大？并求S的最大值．

【答案】（1）證明見解析（2）①②當時，四邊形的面積最大為

【解析】分析：(1)、首先利用菱形的性質得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根據AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，從而證得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，證得四邊形EFGH是平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定四邊形EFGH是矩形；(2)、①過點B作BN⊥EF于點N，根據題意得出NE和EF的長度，然后根據∠A=60°，AE=AH得出△AEH為等邊三角形，從而得出函數關系式；②根據二次函數的性質求出面積的最大值．

詳解：(1)、∵四邊形ABCD是菱形， ∴.

∵， ∴. ∴. 同理：.

所以四邊形是平行四邊形. 又∵， ∴ .

∴. ∵， ∴.

∵，

∴. ∴. ∴.

∴四邊形是矩形.

(2)、①過點B作BN⊥EF于點N，根據題意可得：NE=. ∴，∵，

∴是等邊三角形. ∴， ∴.

②. 當時，.

所以當時，四邊形的面積最大為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個結論①AH⊥EF，②∠ABF=∠EFB，③AC∥BE，④∠E=∠ABE.正確的是（ 　 ）

A. ①②③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②④

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【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x-3與坐標軸交于A，B兩點.

(1)求A，B兩點的坐標；

(2)以AB為邊在第四象限內作等邊三角形ABC，求△ABC的面積；

(3)在平面內是否存在點M，使得以M，O，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出M點的坐標：若不存在，說明理由.

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【題目】下圖是昌平區(qū)2019年1月份每天的最低和最高氣溫，觀察此圖，下列說法正確的是（ ）

A.在1月份中，最高氣溫為10℃，最低氣溫為－2℃

B.在10號至16號的氣溫中，每天溫差最小為7℃

C.每天的最高氣溫均高于0℃，最低氣溫均低于0℃

D.每天的最高氣溫與最低氣溫都是具有相反意義的量

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【題目】小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1），完全開啟后，把手AM的仰角α=37°，此時把手端點A、出水口B和點落水點C在同一直線上，洗手盆及水龍頭的相關數據如圖2.（參考數據：sin37°=，cos37°=，tan37°=）

求把手端點A到BD的距離；

求CH的長.

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【題目】 如圖，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分別是AB，BC的中點．

EF與BD相交于點M．

（1）求證：△EDM∽△FBM；

（2）若DB=9，求BM．

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【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弧AB＝弧AC，AP是⊙O的切線，交BO的延長線于點P

(1) 求證：AP∥BC

(2) 若tan∠P＝，求tan∠PAC的值

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【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米，點P從A開始沿AB邊以4厘米/秒的速度運動，點Q從C開始沿CD邊2厘米/秒的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

（1）當t=2秒時，求P、Q兩點之間的距離；

（2）t為何值時，線段AQ與DP互相平分？

（3）t為何值時，四邊形APQD的面積為矩形面積的？

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【題目】如圖，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉至△AED，使點C的對應點D恰好落在邊AB上，E為點B的對應點．設∠BAC＝α，則∠BED＝______.（用含α的代數式表示）

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