Question

已知直線y=

1

2

x和y=-x+m，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象的頂點為M．
（1）若M恰好在直線y=

1

2

x與y=-x+m的交點處，試證明：無論m取何實數(shù)值，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個不同的交點．
（2）在（1）的條件下，若直線y=-x+m過點D（0，-3），求二次函數(shù)y=x²+px+q的表達式，并作出其大致圖象．
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與y軸交于點C，與x軸的左交點為A，試在直線y=

1

2

x上求異于M的點P，使點P在△CMA的外接圓上．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

1

2

x和y=-x+m相交，解出交點，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象的頂點為M，M是交點，寫出二次函數(shù)帶有m的函數(shù)關(guān)系式，再解出根的判別式，可證交點的個數(shù)．
（2）由直線y=-x+m過點D（0，-3），解出m，即可寫出函數(shù)關(guān)系式，作出圖象．
（3）由勾股定理，可知△CMA為Rt△，且∠CAM=90°，MC為△CMA外接圓直徑，設(shè)過點P（n，

1

2

n），分別作PN⊥y軸于N，PQ⊥x軸于R，過M作MS⊥y軸于S，MS的延長線與PR的延長線交于點Q．由勾股定理|MP|²=|MQ|²+|QP|²，然后解出n．

解答：（1）證明：由

y= 1 2 x① y=-x+m②

有

1

2

x=-x+m
∴

3

2

x=m，x=

2

3

m，y=

1

3

m，
交點（

2

3

m，

1

3

m），
此時二次函數(shù)為y=（x-

2

3

m）²+

1

3

m=x2-

4

3

mx+

4

9

m2+

1

3

m③
由②、③聯(lián)立，消去y，有
x2-(

4

3

m-1)x+

4

9

m2-

2

3

m=0
△=[-（

4

3

-1）²]-4（

4

9

m2-

2

3

m）
=

16

9

m2-

8

3

m+1-

16

9

m²+

8

3

m
=1＞0
∴無論m為何實數(shù)值，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個不同的交點．

（2）解：∵直線y=-x+m過點D（0，-3），
∴-3=0+m，
∴m=-3，
∴M（-2，-1），
∴二次函數(shù)為y=（x+2）²-1=x²+4x+3
=（x+3）（x+1），
圖象如下圖：

（3）解：由勾股定理，可知△CMA為Rt△，且∠CAM=90°，
∴MC為△CMA外接圓直徑．
∵P在y=

1

2

x上，可設(shè)P（n，

1

2

n），
由MC為△CMA外接圓的直徑，P在這個圓上，
∴∠CPM=90°，
過點P分別作PN⊥y軸于N，PQ⊥x軸于R，過M作MS⊥y軸于S，
MS的延長線與PR的延長線交于點Q．
由勾股定理，有|MP|²=|MQ|²+|QP|²，
即|MP|²=（n+2）²+(

1

2

n+1)2
|CP|²=|NC|²+|NP|²=(3-

1

2

n)2+n2，
|CM|²=20
而|MP|²+|CP|²=|CM|²，
∴（n+2）²+(

1

2

n+1)2+(3-

1

2

n)2+n²=20，
即

5

2

n2+2n-6=0，
∴5n²+4n-12=0，
（5n-6）（n+2）=0，
∴n₁=

6

5

，n₂=-2，
而n₂=-2即是M點的橫坐標，與題意不合，故舍去，
∴n=

6

5

，此時

1

2

n=

3

5

，
∴P點坐標為（

6

5

，

3

5

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合習(xí)題，考查求函數(shù)解析式，勾股定理等知識點，習(xí)題比較麻煩．