Question

【題目】已知：直線與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y＝x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)Q在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△QAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（，0）；（4）存在；M點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，﹣8）.

【解析】

（1）求解拋物線的解析式關(guān)鍵是找點(diǎn)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入解析式即可求出解析式；已知B點(diǎn)的坐標(biāo)，已知A點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)且交于y軸，即可通過直線的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，帶入A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）最值問題的關(guān)鍵是找對(duì)稱，通過C點(diǎn)作關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，再連接BF，交AE與點(diǎn)P，此時(shí)△PBC周長(zhǎng)最小；再求出BF的解析式，再求出與直線AE的交點(diǎn)即可；（3）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AP、EP的長(zhǎng)，求出AE 的長(zhǎng)，利用勾股定理得到有關(guān)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得其橫坐標(biāo)即可；（4）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等，得到有關(guān)M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的方程解得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可。

解：（1）∵直線與y軸交于A，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

∴ 解得：

∴；

（2）作出C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF，CF分別交AE與點(diǎn)P,M，連接DF.過點(diǎn)F做FN垂直于X軸,交X軸于點(diǎn)N.

由題意得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn),

∴AE垂直平分CF,

∴直線AE與直線CF的解析式的k值之積為-1,可設(shè)直線CF的解析式為

將C點(diǎn)坐標(biāo)帶入可求得CF的解析式為:

將CF和AE的解析式聯(lián)立可得 ，解得

從而求出直線AE與CF的交點(diǎn)M坐標(biāo)為 ，

∵M點(diǎn)為CF中點(diǎn)，

所以F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即

∵△CDF為等腰三角形，∴

∴在直角三角形DFN中，由勾股定理得：

∴得

∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)為

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴直線BF的解析式為：，

，

可得：P（，）；

（3）根據(jù)題意得：，

解得：或，

∴A（0，2），E（6，5），

∴，

設(shè)Q（x，0），

①若Q為直角頂點(diǎn)，

則，

即，

此時(shí)x無(wú)解；

②若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，

則，

即，

解得： ，

即Q（1，0）；

③若E為直角頂點(diǎn)，

則,

即，

解得：，

此時(shí)求得Q（ ，0）；

∴Q（1，0）或（，0）

（4）假設(shè)存在，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），則，

∵，，，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，滿足條件，

∴在直角三角形AOD中，根據(jù)勾股定理得：，且，，

∵，

∴根據(jù)勾股定理得：，

即，

解得，

則M（0，﹣8）.