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如圖,AD是△ABC的角平分線,⊙O過(guò)點(diǎn)A且和BC相切于點(diǎn)D,和AB、AC分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),如果BD=AE,且BE=a,CF=b,則AF的長(zhǎng)為( )

A.a
B.a
C.b
D.b
【答案】分析:如圖,連接DE,由于CB是圓的切線,所以∠BDE=∠BAD,而∠DEF=∠DAC=∠BAD,由此得到∠BDE=∠DEF,接著得到EF∥CB,利用平行線分線段成比例得到AB:AC=AE:AF,而根據(jù)AD是△ABC的角平分線可以得到AB:AC=BD:DC,推出AE:AF=BD:DC,已知BD=AE,可推出AF=CD,再利用切割線定理知道CD2=CF•CA,而CA=CF+AF=CF+CD,由此得到關(guān)于AF的一元二次方程,解方程即可求出AF的長(zhǎng)度.
解答:解:如圖,連接DE,
∵CB是圓的切線,
∴∠BDE=∠BAD,
而∠DEF=∠DAC=∠BAD,
∴∠BDE=∠DEF,
∴EF∥CB,
∴AB:AC=AE:AF,
∵AD是△ABC的角平分線,
∴AB:AC=BD:DC,
∴AE:AF=BD:DC,
而B(niǎo)D=AE,
∴AF=CD,
又∵BC相切于點(diǎn)D,
∴CD2=CF•CA,
而CA=CF+AF=CF+CD,
∴AF2=CF(CF+AF),
而CF=b,
∴AF2=b2+AF×b,
∴AF2-AF×b-b2=0,
∴AF=(負(fù)值舍去).
故選C.
點(diǎn)評(píng):此題比較復(fù)雜,把平行線分線段成比例放在圓的背景中,首先利用切線的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造平行線,再利用平行線分線段成比例解決問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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垂直
,A′D′=
2

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如圖,AD是△ABC的中線,CE是△ACD的中線,DF是△CDE的中線,如果△DEF的面積是2,那么△ABC的面積為(  )

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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