Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0，

（1）求證：無論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊a=，且兩條直角邊的長b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求k的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）k=3．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)根的判別式的符號(hào)來證明；

（2）根據(jù)韋達(dá)定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理，得（b+c）2-2bc=（）2，由此可以求得k的值．

試題解析：（1）證明：∵△=[-（2k+1）]2-4×1×（4k-3）=4k2-12k+13=（2k-3）2+4，

∴無論k取什么實(shí)數(shù)值，總有=（2k-3）2+4＞0，即△＞0，

∴無論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）【解析】
∵兩條直角邊的長b和c恰好是方程x2-（2k+1）x+4k-3=0的兩個(gè)根，得

∴b+c=2k+1，bc=4k-3，

又∵在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理，得

b2+c2=a2，

∴（b+c）2-2bc=（）2，即（2k+1）2-2（4k-3）=31，

整理后，得k2-k-6=0，解這個(gè)方程，得k=-2或k=3，

當(dāng)k=-2時(shí)，b+c=-4+1=-3＜0，不符合題意，舍去，當(dāng)k=3時(shí)，b+c=2×3+1=7，符合題意，故k=3．

考點(diǎn)：根的判別式．