Question

【題目】若二次函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，我們就稱其中一個(gè)函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)的中心對(duì)稱函數(shù)，也稱函數(shù)和互為中心對(duì)稱函數(shù)．

求函數(shù)的中心對(duì)稱函數(shù)；

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為已知函數(shù)和互為中心對(duì)稱函數(shù)；

請(qǐng)?jiān)趫D中作出二次函數(shù)的頂點(diǎn)作圖工具不限，并畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；

當(dāng)四邊形EPFQ是矩形時(shí)，請(qǐng)求出a的值；

已知二次函數(shù)和互為中心對(duì)稱函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的最大值．

Answer 1

【答案】；畫(huà)圖見(jiàn)解析；a的值為；當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為3．

【解析】

利用配方法得到，則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，利用中心對(duì)稱的性質(zhì)得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出函數(shù)的中心對(duì)稱函數(shù)解析式；

作P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)得到q點(diǎn)，然后大致畫(huà)出頂點(diǎn)為Q，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和F點(diǎn)的拋物線；

利用矩形的性質(zhì)得，則利用拋物線的對(duì)稱性得到，則可判定為等邊三角形，作于H，如圖，易得，，所以，設(shè)交點(diǎn)式，然后把P點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得到a的值；

把化為頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再把代入得，所以，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

，

此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

函數(shù)的中心對(duì)稱函數(shù)為，即；

如圖，

四邊形EPFG為矩形，

，

而，

為等邊三角形，

作于H，如圖，

則，，

，

設(shè)二次函數(shù)的解析式為，

把代入得，解得，

即a的值為；

，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

拋物線的頂點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

把代入得，解得，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為3．