Question

【題目】（發(fā)現(xiàn)）

如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上（如圖①）．

如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上嗎？請證明點D也不在⊙O內(nèi)．

（應用）

利用（發(fā)現(xiàn)）和（思考）中的結(jié)論解決問題：

（1）如圖④，已知∠BCD=∠BAD，∠CAD=40°，求∠CBD的度數(shù)．

（2）如圖⑤，若四邊形ABCD中，∠CAD=90°，作∠CDF=90°，交CA延長線于F，點E在AB上，∠AED=∠ADF，CD=3，EC=2，求ED的長．

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)：點D也不在⊙O內(nèi)；證明見解析；應用：（1）40°；（2）.

【解析】

發(fā)現(xiàn)：如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上．如圖⑤中，點假設(shè)D在⊙O內(nèi)，延長AD交△ABC的外接圓于E，連接BE．利用反證法即可解決問題；

應用：（1）只要證明A、B、C、D四點共圓即可解決問題；

（2）只要證明點E與B重合，由∠DBC=∠DAC=90°，CD=3，BC=2，推出DE=DB==．

解：發(fā)現(xiàn)：如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上．

如圖⑤中，點假設(shè)D在⊙O內(nèi)，延長AD交△ABC的外接圓于E，連接BE．

∵∠ACB=∠AEB，∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，這個與已知條件∠ACB=∠ADB矛盾，

∴假設(shè)不成立，

∴點D也不在⊙O內(nèi)．

應用（1）如圖④中，

∵∠DCB=∠DAB，

∴A、B、C、D四點共圓，

∴∠CBD=∠CAD=40°，

（2）如圖⑤中，

∵∠CDF=∠DAC=90°，

∴∠ADF+∠CDA=90°，∠CDA+∠ACD=90°，

∴∠ADF=∠ACD，

∵∠ADF=∠AED，

∴∠AED=∠ACD，

∵∠ACD=∠ABD，

∴點E與B重合，

∵∠DBC=∠DAC=90°，CD=3，BC=2，

∴DE=DB==．