Question

【題目】如圖1，以點(diǎn)M（－1，0）為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D，直線y＝－x－與⊙M相切于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出OE、⊙M的半徑r、CH的長(zhǎng)；

（2）如圖2，弦HQ交x軸于點(diǎn)P，且DP : PH＝3 : 2，求cos∠QHC的值；

（3）如圖3，點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與E、C重合），連接BK交⊙M于點(diǎn)T，弦AT交x軸于點(diǎn)N．是否存在一個(gè)常數(shù)a，始終滿足MN·MK＝a，如果存在，請(qǐng)求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2

（2）；

（3）a=4

【解析】

（1）在直線y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐標(biāo)，即可得到OE的長(zhǎng)為5；連接MH，根據(jù)△EMH與△EFO相似即可求得半徑為2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH是RT△EHM斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出CH的長(zhǎng)；

（2）連接DQ、CQ．根據(jù)相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，從而求得DQ的長(zhǎng)，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即為cos∠QHC的值；

（3）連接AK，AM，延長(zhǎng)AM，與圓交于點(diǎn)G，連接TG，由圓周角定理可知，

∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出結(jié)論．

（1）OE=5，r=2，CH=2

（2）如圖1，連接QC、QD，則∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，

易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，

；

（3）如圖2，連接AK，AM，延長(zhǎng)AM，

與圓交于點(diǎn)G，連接TG，則

，

由于，故，；

而，故

在和中，；

故△AMK∽△NMA

;

即：

故存在常數(shù)，始終滿足

常數(shù)a="4"

解法二：連結(jié)BM，證明∽

得