Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在AB移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在AC上移動(dòng)，且AN=BM．

（1）證明：OM=ON；  

（2）四邊形AMON面積是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化說明理由；若不變，請你求出四邊形AMON的面積．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=45°，AO=BO=OC，進(jìn)而利用SAS證明三角形全等得出答案；

（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，再利用圖形的面積關(guān)系解答即可．

【解答】解：（1）連接OA，

∵∠A=90°，AB=AC，

又∵O是BC的中點(diǎn)，

∴OA=OB=OC，（直角三角形中，斜邊上的中線是斜邊的一半）

∴∠CAO=∠BAO=45°，

在△ONA和△OMB中，

，

∴△ONAD≌△OMB（SAS），

∴OM=ON（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

（2）不變，理由如下：

由上知△ONA≌△OMB，

∴S_△ONA=S_△OMB，

∴S_{四邊形ANOM}=S_△ONA+S_△OMA=S_△OMB+S_△OMA=S_△OAB，

∴S_{四邊形ANOM}═S_△OAB=4×4=8（cm²）．

【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．