Question

【題目】已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA= ，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．

（1）求∠PCB的度數(shù)；
（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=﹣ x2+bx+c上，求b，c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；
（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OAC中，OA= ，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OA=AP= ，∠ACO=∠ACP=60°；

∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，

∴∠PCB=30°．

（2）

解：過(guò)P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP= ；

∴OQ=AQ= ，PQ= ，

所以P（ ， ）；

將P、A代入拋物線的解析式中，得：

，

解得 ；

即y=﹣ x2+ x+1；

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖像上

（3）

解：①若DE是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，

∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，

把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，1）

把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣ ，0）

∴M（ ，0）；N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，

過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，

∴DE=AN= = =2，

∵tan∠EAN= ，

∴∠EAN=30°，

∵∠DEA=∠EAN，

∴∠DEA=30°，

∴M（ ，0），N（0，﹣1）；

同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，

∴M（﹣ ，0），N（0，1）．

【解析】（1）根據(jù)OC、OA的長(zhǎng)，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折疊的性質(zhì)），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判斷出∠PCB的度數(shù)．（2）過(guò)P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，將P、A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可得到b、c的值，從而確定拋物線的解析式，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．（3）根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分兩種情況考慮：
①DE是平行四邊形的對(duì)角線，由于CD∥x軸，且C在y軸上，若過(guò)D作直線CE的平行線，那么此直線與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，而N點(diǎn)即為C點(diǎn)，D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，而C點(diǎn)坐標(biāo)已知，即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
②DE是平行四邊形的邊，由于A在x軸上，過(guò)A作DE的平行線，與y軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn)，而M點(diǎn)即為A點(diǎn)；易求得∠DEA的度數(shù)，即可得到∠NAO的度數(shù)，已知OA的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形可求得ON的值，從而確定N點(diǎn)的坐標(biāo)，而M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，其坐標(biāo)已知；
同理，由于C在y軸上，且CD∥x軸，過(guò)C作DE的平行線，也可找到符合條件的M、N點(diǎn)，解法同上．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．