Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過B作⊙A的切線l．

（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，9），求此拋物線的解析式；

（2）拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點(diǎn)，求DE的長；

（3）點(diǎn)F是切線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí)，求出BF的長 ．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-6）2-3；（2）DE=3；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x=6，可設(shè)拋物線的解析式為y=a （x-6）2+k，將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求a，k，即可確定該拋物線的解析式；（2）連接AE，可知∠AED=90°，AE=3 ，因?yàn)橹本�l是拋物線的對稱軸，點(diǎn)A，D是拋物線與x軸的交點(diǎn)，所以AB=BD=3， AD=6 ，于是利用勾股定理可求出DE的長；（3）由題意可知，利用有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，切線DE上符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，即當(dāng)BF⊥ED時(shí)和FB⊥AD時(shí)，利用相似三角形性質(zhì)即可求出BF的長．

試題解析：（1）由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x=6，∴設(shè)拋物線的解析式為y=a （x-6）2+k，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）和C（0，9），∴將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得： ，解得：a=，k=-3．∴拋物線的解析式為y=（x-6）2-3；（2）連接AE，∵DE是⊙A的切線，∴∠AED=90°，AE=3 ，∵直線l是拋物線的對稱軸，點(diǎn)A，D是拋物線與x軸的交點(diǎn)，∴AB=BD=3，∴AD=6 ， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴DE=3；

（3）利用有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)BF⊥ED時(shí)，∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴ ，即，∴BF=．當(dāng)FB⊥AD時(shí)，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD ， ∴ 即BF=，∴當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí)，BF的長為或．