Question

【題目】在△ABC中，以AB邊上的中線CD為直徑作圓，如果與邊AB有交點(diǎn)E（不與點(diǎn)D重合），那么稱為△ABC的C﹣中線�。�例如，如圖中是△ABC的C﹣中線�。�在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC存在C﹣中線弧，其中點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t，0）（t＞0）．

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，

①在點(diǎn)C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）中，滿足條件的點(diǎn)C是　 　；

②若在直線y＝kx（k＞0）上存在點(diǎn)P是△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心，其中CD＝4，求k的取值范圍；

（2）若△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心為定點(diǎn)P（2，2），直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①C2，C4；②且k≠1；（2）且t≠2．

【解析】

（1）①先確定出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論；

②先確定出分界點(diǎn)點(diǎn)P，P'的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（2）表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分點(diǎn)E在線段AD和BD上，求出AE，利用0≤AE≤2t，且AE≠t，即可得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴D（2，0），

①如圖1，

過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則∠CED＝90°，

∴CE⊥AB，

即點(diǎn)C和點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，

∵點(diǎn)E是以CD為直徑與邊AB的交點(diǎn)，

∴0≤AE≤4，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，

∴AE≠2，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于4，且不等于2，

即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于4，且不等于2，

∵點(diǎn)C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2），

∴只有點(diǎn)C2，C4的橫坐標(biāo)滿足條件，

故答案為C2，C4；

②∵△ABC的中線CD＝4，

∴點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心4為直徑的弧上，

由①知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于4，且不等于2，

∴點(diǎn)C在如圖2所示的 上（點(diǎn)H（2，4）除外），

∵點(diǎn)P是以CD為直徑的圓的圓心，

∴點(diǎn)P在如圖2所示的上（點(diǎn)G（2，2）除外），

在Rt△OAM中，AD＝2，MD＝4，

根據(jù)勾股定理得，AO＝2，

∴C（0，2），

同理：C'（4，2），

∵點(diǎn)P是DC的中點(diǎn)，

∴P（1，），

同理：點(diǎn)P'（3，），

當(dāng)直線y＝kx過點(diǎn)P（1，）時(shí)，得k=，

當(dāng)直線y＝kx過點(diǎn)P'（3，）時(shí)，得，

當(dāng)直線y＝kx過點(diǎn)G（2，2）時(shí)，得k＝1，

結(jié)合圖形，可得k的取值范圍是且k≠1；

（2）同（1）①知，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于2t，且不等于t，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且B（2t，0），

∴D（t，0），

當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，

∴t≤4，

當(dāng)點(diǎn)E在線段BE上時(shí)，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，

∴t≥，

∴且t≠2．