Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過點P的直線PE與y軸交于點E，是否存在以O(shè)、P、E為頂點的三角形與△OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得：OC=4，OD=2，

∴DM=OC+OD=6，

∴頂點M坐標(biāo)為（2，6）．

設(shè)拋物線解析式為：y=a（x﹣2）2+6，

∵點C（0，4）在拋物線上，

∴4=4a+6，

解得a= ．

∴拋物線的解析式為：y= （x﹣2）2+6= x2+2x+4．

（2）

解：如答圖1，過點P作PE⊥x軸于點E．

∵P（x，y），且點P在第一象限，

∴PE=y，OE=x，

∴DE=OE﹣OD=x﹣2．

S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE

= （4+y）x﹣ ×2×4﹣ （x﹣2）y

=y+2x﹣4．

將y= x2+2x+4代入上式得：S= x2+2x+4+2x﹣4= x2+4x．

在拋物線解析式y(tǒng)= x2+2x+4中，令y=0，即 x2+2x+4=0，解得x=2± ．

設(shè)拋物線與x軸交于點A、B，則B（2+ ，0），

∴0＜x＜2+ ．

∴S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S= x2+4x（0＜x＜2+ ）．

（3）

解：存在．

若以O(shè)、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，可能有以下情形：

（Ⅰ）OD=OP．

由圖象可知，OP最小值為4，即OP≠OD，故此種情形不存在．

（Ⅱ）OD=OE．

若點E在y軸正半軸上，如答圖2所示：

此時△OPD≌△OPE，

∴∠OPD=∠OPE，即點P在第一象限的角平分線上，

所以P點的橫縱坐標(biāo)相等，即 x2+2x+4=x，解答x1=﹣2（舍去），x2=4．

所以P點坐標(biāo)為：（4，4），

∴直線PE的解析式為：y= x+2；

若點E在y軸負半軸上，易知此種情形下，兩個三角形不可能全等，故不存在．

（Ⅲ）OD=PE．

∵OD=2，

∴第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的點到y(tǒng)軸的距離均大于2，

則點P只能位于對稱軸左側(cè)或與頂點M重合．

若點P位于第一象限內(nèi)拋物線對稱軸的左側(cè)，易知△OPE為鈍角三角形，而△OPD為銳角三角形，則不可能全等；

若點P與點M重合，如答圖3所示，此時△OPD≌OPE，四邊形PDOE為矩形，

∴直線PE的解析式為：y=6．

綜上所述，存在以O(shè)、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，直線PE的解析式為y=6，y= x+2．

【解析】（1）首先求出點M的坐標(biāo)，然后利用頂點式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）如答圖1所示，作輔助線構(gòu)造梯形，利用S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE求出S關(guān)于x的表達式；求出拋物線與x軸正半軸的交點坐標(biāo)，得到自變量的取值范圍；（3）由于三角形的各邊，只有OD=2是確定長度的，因此可以以O(shè)D為基準(zhǔn)進行分類討論：①OD=OP．因為第一象限內(nèi)點P到原點的距離均大于4，因此OP≠OD，此種情形排除；②OD=OE．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立；③OD=PE．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．