Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）是第一象限內該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若經過點P的直線PE與y軸交于點E，是否存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得：OC=4，OD=2，

∴DM=OC+OD=6，

∴頂點M坐標為（2，6）．

設拋物線解析式為：y=a（x﹣2）2+6，

∵點C（0，4）在拋物線上，

∴4=4a+6，

解得a= ．

∴拋物線的解析式為：y= （x﹣2）2+6= x2+2x+4．

（2）

解：如答圖1，過點P作PE⊥x軸于點E．

∵P（x，y），且點P在第一象限，

∴PE=y，OE=x，

∴DE=OE﹣OD=x﹣2．

S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE

= （4+y）x﹣ ×2×4﹣ （x﹣2）y

=y+2x﹣4．

將y= x2+2x+4代入上式得：S= x2+2x+4+2x﹣4= x2+4x．

在拋物線解析式y(tǒng)= x2+2x+4中，令y=0，即 x2+2x+4=0，解得x=2± ．

設拋物線與x軸交于點A、B，則B（2+ ，0），

∴0＜x＜2+ ．

∴S關于x的函數關系式為：S= x2+4x（0＜x＜2+ ）．

（3）

解：存在．

若以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，可能有以下情形：

（Ⅰ）OD=OP．

由圖象可知，OP最小值為4，即OP≠OD，故此種情形不存在．

（Ⅱ）OD=OE．

若點E在y軸正半軸上，如答圖2所示：

此時△OPD≌△OPE，

∴∠OPD=∠OPE，即點P在第一象限的角平分線上，

所以P點的橫縱坐標相等，即 x2+2x+4=x，解答x1=﹣2（舍去），x2=4．

所以P點坐標為：（4，4），

∴直線PE的解析式為：y= x+2；

若點E在y軸負半軸上，易知此種情形下，兩個三角形不可能全等，故不存在．

（Ⅲ）OD=PE．

∵OD=2，

∴第一象限內對稱軸右側的點到y(tǒng)軸的距離均大于2，

則點P只能位于對稱軸左側或與頂點M重合．

若點P位于第一象限內拋物線對稱軸的左側，易知△OPE為鈍角三角形，而△OPD為銳角三角形，則不可能全等；

若點P與點M重合，如答圖3所示，此時△OPD≌OPE，四邊形PDOE為矩形，

∴直線PE的解析式為：y=6．

綜上所述，存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，直線PE的解析式為y=6，y= x+2．

【解析】（1）首先求出點M的坐標，然后利用頂點式和待定系數法求出拋物線的解析式；（2）如答圖1所示，作輔助線構造梯形，利用S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE求出S關于x的表達式；求出拋物線與x軸正半軸的交點坐標，得到自變量的取值范圍；（3）由于三角形的各邊，只有OD=2是確定長度的，因此可以以OD為基準進行分類討論：①OD=OP．因為第一象限內點P到原點的距離均大于4，因此OP≠OD，此種情形排除；②OD=OE．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立；③OD=PE．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�