Question

如圖，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP=．四邊形ABCD是菱形，點A在邊PQ上，B、C在邊QO上（B點在C點的左側(cè)），且∠ABC=60°．設(shè)BQ=x．
（1）試用含x的代數(shù)式表示菱形ABCD的邊長；
（2）當(dāng)點D在線段OP上時，求x的值；
（3）設(shè)菱形ABCD與△OPQ重合部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）連接PD、OD．對于不同的x值，請你比較線段OD與PD的大小關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得，∠Q=30°，∠ABC=60°，由三角形外角定理可得∠QAB=∠Q=30°，進(jìn)而可得BA=BQ，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，可得Rt△DCO中，有∠DCO=60°，CD=x，借助菱形的性質(zhì)，可得QO=QB+BC+CO，代入數(shù)據(jù)可得答案；
（3）過A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，當(dāng)0＜x≤時，y=x×=，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)分析可得答案；
（4）作OP的中垂線，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，可得答案．
解答：解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的邊長為x；（2分）

（2）如圖①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4，
∴QO=12．∴=12
x=；（2分）

（3）如圖①，過A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=
∴當(dāng)0＜x≤時，
y=x×=（2分）
如圖②，設(shè)CD與0P相關(guān)交于點E，AD與OP相交于點F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=，EF=?
?當(dāng)＜x≤6時?，
y=x²-（-12）²=-x²+30x-72；

（4）如圖③，作OP的中垂線
當(dāng)0＜x＜4時，OD＜DP；
當(dāng)x=4時，OD=DP；
當(dāng)4＜x≤6時，OD＞DP．
點評：本題考查菱形的性質(zhì)，注意根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而分析函數(shù)求解．