Question

如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/秒，設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤4）
（1）過(guò)點(diǎn)P做PM⊥OA于M，求證：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）；
（2）求△OPQ面積S（cm²），與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大是多少？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ為直角三角形？
（4）證明無(wú)論t為何值時(shí)，△OPQ都不可能為正三角形．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度不變改變Q的運(yùn)動(dòng)速度，使△OPQ為正三角形，求Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）先證明PM∥OB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例證明即可；利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，而AP=t，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM、PM的值，P點(diǎn)坐標(biāo)即可得到；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，P點(diǎn)縱坐標(biāo)與OQ的長(zhǎng)度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可；
（3）作OQ邊上的高，根據(jù)△PON和△QPN相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列式求解；
（4）根據(jù)正三角形的性質(zhì)PN垂直平分邊OQ，所以無(wú)論t為何值時(shí)，△OPQ都不可能為正三角形；改變Q點(diǎn)速度根據(jù)正三角形的性質(zhì)，0Q=2ON，PN=

3

2

OQ分別列式求解即可得到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間t．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
∴PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴

AM

3

=

PM

4

=

t

5

，
∴PM=

4

5

t，OM=OA-AM=3-

3

5

t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

5

t，3-

3

5

t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

t²+

3

2

t
=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值，最大值為

15

8

；

（3）作PN⊥OB于N，
∵△OPQ為直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴

PN

QN

=

ON

PN

，
∴（3-

3

5

t）²=

4

5

t（t-

4

5

t），
解得t₁=3，t₂=15（舍去）；

（4）∵ON=

4

5

t，OQ=t，
∴0Q≠2ON，
∴無(wú)論t為何值時(shí)，△OPQ都不可能為正三角形；
要使△OPQ為正三角形，
則0Q=2ON=

8

5

t，
∴Q點(diǎn)的速度為

8

5

cm/s，
此時(shí)3-

3

5

t=

8

5

t•

3

2

，
解得t=

20 3 -15

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)主要利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，等邊三角形的高與底邊的性質(zhì)，只要肯于動(dòng)腦也不難解決．