【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣2x+4與坐標軸交于A,B兩點,動點C在x軸正半軸上,⊙D為△AOC的外接圓,射線OD與直線AB交于點E.
(1)如圖①,若OE=DE,求的值;
(2)如圖②,當∠ABC=2∠ACB時,求OC的長;
(3)點C由原點向x軸正半軸運動過程中,設OC的長為a,
①用含a的代數式表示點E的橫坐標xE;②若xE=BC,求a的值.
【答案】(1);(2)OC=2﹣2;(3)①xE=;②a的值為±1.
【解析】
(1)根據三角形的面積公式計算;
(2)作OF⊥AC于點F,根據一次函數的性質求出OA、OB,根據正切的定義得到tan∠ODC=2,設DF=m,根據勾股定理用m表示出OD,計算即可;
(3)①作EH⊥AO于點H,根據相似三角形的性質列式計算,得到答案;
②分C在點B右側、C在點B左側兩種情況,分別列出方程,解方程即可.
(1)∵OE=DE,
∴S△AOE=S△ADE,
∵AD=CD,
∴S△CDE=S△ADE,
∴,
故答案為:;
(2)作OF⊥AC于點F,
對于直線y=﹣2x+4,當y=0時,x=2,當x=0時,y=4,
則A的坐標為(0,4),點B的坐標為(2,0),即OA=4,OB=2,
∵∠ABC=2∠ACB,
∴∠ADO=∠ABC,
∴∠ODC=∠ABO,
∴tan∠ODC=tan∠ABO=2,
設DF=m,則OF=2m,
由勾股定理得,OD=m,
∴CF=(﹣1)m,
∴tan∠OCD=,
∴,即,
解得,OC=2﹣2;
(3)①設直線OD交⊙D另一點為G,連結AG,作EH⊥AO于點H,
則EH∥AG,
∴,,
∴=1,即=1,
解得,xE=;
②當C在點B右側時,BC=xE,即a﹣2=xE,
∴a﹣2=,
解得,a1=1+,a2=1﹣(舍去),
當C在點B左側時,BC=xE,即2﹣a=xE,
∴2﹣a=,
解得,a1=﹣1+,a2=﹣1﹣(舍去),
所以a的值為±1.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),與y軸交于點C(0,﹣2),OB=4OA,tan∠BCO=2.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M、N分別是線段BC、AB上的動點,點M從點B出發(fā)以每秒個單位的速度向點C運動,同時點N從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動,當點M、N中的一點到達終點時,兩點同時停止運動.過點M作MP⊥x軸于點E,交拋物線于點P.設點M、點N的運動時間為t(s),當t為多少時,△PNE是等腰三角形?
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【題目】如圖,△ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°,得△ABF,連接EF交AB于H,則下列結論: ①AE⊥AF;②EF:AF=:1;③AF2=FHFE;④FB:FC=HB:EC.正確的是___.
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【題目】有一只拉桿式旅行箱(圖1),其側面示意圖如圖2所示.已知箱體長AB=50cm,拉桿的伸長距離最大時可達35cm,點A,B,C在同一條直線上.在箱體底端裝有圓形的滾輪⊙A,⊙A與水平地面MN相切于點D.在拉桿伸長至最大的情況下,當點B距離水平地面38cm時,點C到水平地面的距離CE為59cm.
設AF∥MN.
(1)求⊙A的半徑長;
(2)當人的手自然下垂拉旅行箱時,人感到較為舒服.某人將手自然下垂在C端拉旅行箱時,CE為80cm,=64°.求此時拉桿BC的伸長距離.(精確到1cm,參考數據:,,)
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【題目】某校為了解九年級學生的身體素質情況,體育老師對九(1)班50位學生進行測試,根據測試評分標準,將他們的得分進行統(tǒng)計后分為A,B,C,D四等,并繪制成如圖所示的頻數分布表和扇形統(tǒng)計圖.
等第 | 成績(得分) | 頻數(人數) | 頻率 |
A | 10分 | 7 | 0.14 |
9分 | x | m | |
B | 8分 | 15 | 0.30 |
7分 | 8 | 0.16 | |
C | 6分 | 4 | 0.08 |
5分 | y | n | |
5分以下 | 3 | 0.06 | |
合計 | 50 | 1 |
(1)直接寫出:m,x,y;
(2)求表示得分為C等的扇形的圓心角的度數;
(3)如果該校九年級共有700名學生,試估計這700名學生中成績達到A等和B等的人數共有多少人?
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【題目】已知頂點為的拋物線經過點,點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,直線與軸相交于點軸相交于點,拋物線與軸相交于點,在直線上有一點,若,求的面積;
(3)如圖2,點是折線上一點,過點作軸,過點作軸,直線與直線相交于點,連接,將沿翻折得到,若點落在軸上,請直接寫出點的坐標.
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【題目】如圖,已知正方形OEFG的頂點O與正方形ABCD的中心O重合,若正方形OEFG繞O點旋轉.
(1)探究:在旋轉的過程中線段BE與線段CG有什么數量關系及位置關系?證明你的結論;
(2)若正方形ABCD的邊長為a,探究:在旋轉過程中四邊形OMCN的面積是否發(fā)生變化?若不變化求其面積,若變化指出變化過程.
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【題目】在奉賢創(chuàng)建文明城區(qū)的活動中,有兩段長度相等的彩色道磚鋪設任務,分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工.如圖是反映所鋪設彩色道磚的長度y(米)與施工時間x(時)之間關系的部分圖象.請解答下列問題:
(1)求乙隊在2≤x≤6的時段內,y與x之間的函數關系式;
(2)如果甲隊施工速度不變,乙隊在開挖6小時后,施工速度增加到12米/時,結果兩隊同時完成了任務.求甲隊從開始施工到完工所鋪設的彩色道磚的長度為多少米?
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【題目】如圖,從一架水平飛行的無人機的尾端點測得正前方的橋的左端點俯角為,且,無人機的飛行高度米,橋的長度為1255米.
(1)求點到橋左端點的距離;
(2)若從無人機前端點測得正前方的橋的右端點的俯角為,求這架無人機的長度.
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