Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+4與坐標軸交于A，B兩點，動點C在x軸正半軸上，⊙D為△AOC的外接圓，射線OD與直線AB交于點E．

（1）如圖①，若OE＝DE，求的值；

（2）如圖②，當∠ABC＝2∠ACB時，求OC的長；

（3）點C由原點向x軸正半軸運動過程中，設OC的長為a，

①用含a的代數式表示點E的橫坐標xE；②若xE＝BC，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OC＝2﹣2；（3）①xE＝；②a的值為±1．

【解析】

（1）根據三角形的面積公式計算；

（2）作OF⊥AC于點F，根據一次函數的性質求出OA、OB，根據正切的定義得到tan∠ODC＝2，設DF＝m，根據勾股定理用m表示出OD，計算即可；

（3）①作EH⊥AO于點H，根據相似三角形的性質列式計算，得到答案；

②分C在點B右側、C在點B左側兩種情況，分別列出方程，解方程即可．

（1）∵OE＝DE，

∴S△AOE＝S△ADE，

∵AD＝CD，

∴S△CDE＝S△ADE，

∴，

故答案為：；

（2）作OF⊥AC于點F，

對于直線y＝﹣2x+4，當y＝0時，x＝2，當x＝0時，y＝4，

則A的坐標為（0，4），點B的坐標為（2，0），即OA＝4，OB＝2，

∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠ADO＝∠ABC，

∴∠ODC＝∠ABO，

∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2，

設DF＝m，則OF＝2m，

由勾股定理得，OD＝m，

∴CF＝（﹣1）m，

∴tan∠OCD＝，

∴，即，

解得，OC＝2﹣2；

（3）①設直線OD交⊙D另一點為G，連結AG，作EH⊥AO于點H，

則EH∥AG，

∴，，

∴＝1，即＝1，

解得，xE＝；

②當C在點B右側時，BC＝xE，即a﹣2＝xE，

∴a﹣2＝，

解得，a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），

當C在點B左側時，BC＝xE，即2﹣a＝xE，

∴2﹣a＝，

解得，a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），

所以a的值為±1．