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設a、b、c、d是四個整數,且使得是一個非零整數,求證:|m|一定是個合數.
【答案】分析:先把進行因式分解,再由因式分解的結果及合數的定義進行解答.
解答:解:要證明|m|是合數,只要能證出|m|=p•q,p•q均為大于1的正整數即可.
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因為m是非零整數,則是非零整數.
由于四個數a+b+c-d,a+b-c+d,a-b+c+d,-a+b+c+d的奇偶性相同,乘積應被4整除,
所以四個數均為偶數.
所以可設a+b+c-d=2m1,a+b-c+d=2m2,a-b+c+d=2m3,-a+b+c+d=2m4,其中m1,m2,m3,m4均為非零整數.
所以m=(2m1)(2m2)(2m3)(2m4)=4m1m2m3m4,
所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0,
所以|m|是一個合數.
點評:本題考查的是質數與合數的定義、因式分解、奇數與偶數的定義、絕對值的性質,涉及面較廣,難度較大.
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