Question

設(shè)a、b、c、d是四個整數(shù)，且使得m=(ab+cd)2-

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(a2+b2-c2-d2)2是一個非零整數(shù)，求證：|m|一定是個合數(shù)．

Answer 1

要證明|m|是合數(shù)，只要能證出|m|=p•q，p•q均為大于1的正整數(shù)即可．證明：m=(ab+cd)2-

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4

(a2+b2-c2-d2)
=[ab+cd+

1

2

(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-

1

2

(a2+b2-c2-d2)
=

1

4

[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]
=

1

4

[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]
=

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
因為m是非零整數(shù)，則

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整數(shù)．
由于四個數(shù)a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘積應(yīng)被4整除，
所以四個數(shù)均為偶數(shù)．
所以可設(shè)a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均為非零整數(shù)．
所以m=

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4

（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一個合數(shù)．