Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）當BC＝4時，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)∠ABC與∠D都是劣弧AC所對的圓周角，利用圓周角定理可證出∠ABC＝∠D＝60°；

（2）根據(jù)AB是⊙O的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB＝90°，結(jié)合∠ABC＝60°求得∠BAC＝30°，從而推出∠BAE＝90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切線；

（3）連接OC，作OF⊥AC，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出OF＝2，根據(jù)圓周角定理得出∠AOC＝120°，然后根據(jù)S陰影＝S扇形﹣S△AOC即可求得．

解：（1）∵∠ABC與∠D都是劣弧AC所對的圓周角，∠D＝60°，

∴∠ABC＝∠D＝60°；

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．

可得∠BAC＝90°﹣∠ABC＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，

即BA⊥AE，得OA⊥AE，

又∵OA是⊙O的半徑，

∴AE是⊙O的切線；

（3）連接OC，作OF⊥AC，

∴OF垂直平分AC，

∵OA＝OB，

∴OF＝BC＝2，

∵∠D＝60°，

∴∠AOC＝120°，∠ABC＝60°，

∴AC＝AB＝4，

∴S陰影＝S扇形﹣S△AOC＝．