Question

如圖△ABC中，過點A分別作∠ABC、∠ACB的外角的平分線的垂線AD，AE，D，E為垂足．
求證：（1）ED∥BC；
（2）ED=

1

2

(AB+AC+BC)．

Answer 1

分析：（1）分別延長AD、AE與直線BC交于點F、G，根據(jù)AD⊥BD，得到∠ADB=∠FDB=90°，再根據(jù)BD=BD，∠ABD=∠FBD，證得△ABD≌△FBD，進而得到AD=FD、AE=EG，證得DE∥BC．
（2）根據(jù)上題證得的△ABD≌△FBD，AB=BF，同理AC=CG，證得GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，從而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）分別延長AD、AE與直線BC交于點F、G，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵BD=BD，∠ABD=∠FBD，
∴△ABD≌△FBD
∴AD=FD，
同理可得AE=EG，
∴DE∥BC；

（2）由（1）知△ABD≌△FBD，
∴AB=BF，
同理AC=CG，
∵DE=

1

2

FG
∴GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，
∴DE=

1

2

(AB+BC+AC)．

點評：本題考查了三角形的中位線定理及三角形的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是正確的利用中位線定理得到中位線與第三邊的位置或數(shù)量關(guān)系．