Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm，D為邊AB中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q在邊AB上同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿D→A以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿D→B→D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)D停止．以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN．將△PQN繞QN的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△MNQ．設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜3）．

（1）當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，求t的值．

（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．

（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或

【解析】

試題分析：（1）由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)DQ=3；

（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，此時(shí)PD=DQ；

（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng)≤t≤時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN．

（4）MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)＜t＜，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值．

試題解析：（1）∵△PQN與△ABC都是等邊三角形，

∴當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．

∴DQ=3

∴2t=3．

∴t=；

（2）∵當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，

∴PD=DQ，

當(dāng)0＜t＜時(shí)，

此時(shí)，PD=t，DQ=2t

∴t=2t

∴t=0（不合題意，舍去），

當(dāng)≤t＜3時(shí)，

此時(shí)，PD=t，DQ=6﹣2t

∴t=6﹣2t，

解得t=2；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2；

（3）由題意知：此時(shí)，PD=t，DQ=2t

當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，

∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t

∴3t=3﹣2t

∴解得t=

如圖①，當(dāng)0≤t≤時(shí)，

S△PNQ=PQ2=t2；

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，

如圖②，當(dāng)≤t≤時(shí)，

設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，

∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，

∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，

∵△EMF是等邊三角形，

∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2

．

；

（4）MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，

此時(shí)＜t＜，

t=1或．