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2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙C的半徑為r(r>1),P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn),⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下:若直線CP與⊙C交于點(diǎn)A,B,滿足|PA-PB|=2,則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”,如圖為⊙C及其“完美點(diǎn)”P的示意圖.
(1)當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí),
①在點(diǎn)M(32,0),N(0,1),T(-32,-12)中,⊙O的“完美點(diǎn)”是N,T;
②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y=3x上,求PO的長及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)⊙C的圓心在直線y=3x+1上,半徑為2,若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”,求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍.

分析 (1)①利用圓的“完美點(diǎn)”的定義直接判斷即可得出結(jié)論;
②先確定出滿足圓的“完美點(diǎn)”的OP的長度,然后分情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出圓的“完美點(diǎn)”的軌跡,然后確定出取極值時(shí)⊙C與y軸的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)①∵點(diǎn)M(32,0),
∴設(shè)⊙O與x軸的交點(diǎn)為A,B,
∵⊙O的半徑為2,
∴取A(-2,0),B(2,0),
∴|MA-MB|=|(32+2)-(32-2)|=4≠2,
∴點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”,
同理:點(diǎn)N,T是⊙O的“完美點(diǎn)”.
故答案為N,T;
②如圖1,根據(jù)題意,|PA-PB|=2,
∴|OP+2-(2-OP)|=2,
∴OP=1.
若點(diǎn)P在第一象限內(nèi),作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,
∵點(diǎn)P在直線y=3x上,OP=1,
∴OQ=12,PQ=32
∴P(12,32).
若點(diǎn)P在第三象限內(nèi),根據(jù)對稱性可知其坐標(biāo)為(-12,-32).
綜上所述,PO的長為1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1232)或(-12,-32).
(2)對于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P都有|PA-PB|=2,
∴|CP+2-(2-CP)|=2.
∴CP=1.
∴對于任意的點(diǎn)P,滿足CP=1,都有|CP+2-(2-CP)|=2,
∴|PA-PB|=2,故此時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”.
因此,⊙C的“完美點(diǎn)”是以點(diǎn)C為圓心,1為半徑的圓.
設(shè)直線y=3x+1與y軸交于點(diǎn)D,如圖2,
當(dāng)⊙C移動到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí),t的值最�。�
設(shè)切點(diǎn)為E,連接CE,
∵⊙C的圓心在直線y=3x+1上,
∴此直線和y軸,x軸的交點(diǎn)D(0,1),F(xiàn)(-33,0),
∴OF=33,OD=1,
∵CE∥OF,
∴△DOF∽△DEC,
ODDE=OFCE
1DE=332,
∴DE=23
∴OE=23-1,
t的最小值為1-23
當(dāng)⊙C移動到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí),t的值最大.
同理可得t的最大值為1+23
綜上所述,t的取值范圍為1-23≤t≤1+23

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題,主要考查了新定義,相似三角形的性質(zhì)和判定,直線和圓的位置關(guān)系,解本題的關(guān)鍵是理解新定義的基礎(chǔ)上,會用新定義,是一道比中等難度的中考�?碱}.

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(2)當(dāng)四邊形ABCD的內(nèi)部有10個(gè)點(diǎn)P1…P10時(shí),最多可把它剪成22個(gè)三角形;
當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)P1…Pn時(shí),最多可以把它剪成2(n+1)個(gè)三角形;
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