Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=4，D為BC上一點，CD=2，且△ADC與△ABD的面積比為1：3；
（1）求證：△ADC∽△BAC；
（2）當AB=8時，求sinB．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，作AE⊥BC于點E，

∵ = = = ，

∴BD=3CD=6，

∴CB=CD+BD=8，

則 = ， ，

∴ ，

∵∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC；

（2）解：∵△ADC∽△BAC，

∴ ，即 ，

∴AD=AC=4，

∵AE⊥BC，

∴DE= CD=1，

∴AE= = ，

∴sinB= = ．

【解析】（1）作AE⊥BC，根據(jù)△ADC與△ABD的面積比為1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，從而得 ，結(jié)合∠C=∠C，可證得△ADC∽△BAC；（2）由△ADC∽△BAC得 ，求出AD的長，根據(jù)AE⊥BC得DE= CD=1，由勾股定理求得AE的長，最后根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．