Question

【題目】如圖1，共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形△ABC，△AB′C′，若 AB=AB′，AC=AC′，且∠BAC+∠B′AC′=180°，我們稱△ABC 與△AB′C′互為“頂補(bǔ)三角形”．

(1)已知△ABC 與△ADE 互為“頂補(bǔ)三角形”，AF 是△ABC 的中線．

①如圖 2，若△ADE 為等邊三角形時(shí)，求證：DE=2AF；

②如圖 3，若△ADE 為任意三角形時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

(2)如圖4，四邊形 ABCD 中，∠B+∠C=90°．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn) P，使△PAD 與△PBC 互為“頂補(bǔ)三角形”， 若存在，請(qǐng)畫出圖形，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ①見解析 ②成立，理由見解析（2）存在點(diǎn)P，證明見解析.

【解析】

(1)①首先證明，再利用與互為“頂補(bǔ)三角形”，求得，，再利用是的中線和，即可證得；

②首先證明，然后根據(jù)，證得，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可解決問題；

(2)先做輔助線，的垂直平分線，則的交點(diǎn)，然后利用垂直平分線定理，即可解決問題．

證明：（1）①如圖25－1，

為等邊三角形，

，

與互為“頂補(bǔ)三角形”，

，

是的中線，

，

，

，

即；

②方法一：如圖25－2，

延長到，使，連接，

是的中線，

，又，

，

，，

，

又，，

，

即；方法二：如圖25－3，

取中點(diǎn)，連接，并延長到，使，連接可證得， ，（方法同上）

又由是的中線，是的中線，

；

（2）存在點(diǎn).如圖25－4，分別作線段，的垂直平分線，則的交點(diǎn)，使得與互為“頂補(bǔ)三角形”.

證明：延長，交于點(diǎn).

，

，

垂直平分于點(diǎn)，垂直平分于點(diǎn)，

，，， ，， ，

，

綜上所述，與互為“頂補(bǔ)三角形”.