Question

如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(P與A、C不重合)，點(diǎn)E在射線BC上，且PE＝PB．

(1)求證：①PE＝PD；②PE⊥PD；

(2)設(shè)AP＝x，△PBE的面積為y．

①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證法一： 　　①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線， 　　∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°　　(1分) 　　∵PC＝PC， 　　∴△PBC≌△PDC(SAS)　　(2分) 　　∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC　　(3分) 　　又∵PB＝PE， 　　∴PE＝PD　　(4分) 　　②(i)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)， 　　∵PB＝PE， 　　∴∠PBE＝∠PEB， 　　∴∠PEB＝∠PDC， 　　∴∠PEB＋∠PEC＝∠PDC＋∠PEC＝180°， 　　∴∠DPE＝360°－(∠BCD＋∠PDC＋∠PEC)＝90°， 　　∴PE⊥PD　　(6分) 　　(ii)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PE⊥PD． 　　(iii)當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖． 　　∵∠PEC＝∠PDC，∠1＝∠2， 　　∴∠DPE＝∠DCE＝90°， 　　∴PE⊥PD． 　　綜合(i)(ii)(iii)，PE⊥PD　　(7分) 　　(2)①過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，則BF＝FE． 　　∵AP＝x，AC＝， 　　∴PC＝－x，PF＝FC＝． 　　BF＝FE＝1－FC＝1－()＝． 　　∴S△PBE＝BF·PF＝()　　(9分) 　　即　(0＜x＜)　　(10分) 　�、�　　(11分) 　　∵＜0， 　　∴當(dāng)時(shí)，y最大值　　(12分) 　　(1)證法二：①過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示． 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形， 　　△AGP和△PFC都是等腰直角三角形． 　　∴GD＝FC＝FP，GP＝AG＝BF，∠PGD＝∠PFE＝90°． 　　又∵PB＝PE， 　　∴BF＝FE， 　　∴GP＝FE， 　　∴△EFP≌△PGD(SAS)　　(3分) 　　∴PE＝PD　　(4分) 　�、凇唷�1＝∠2． 　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°． 　　∴∠DPE＝90°． 　　∴PE⊥PD　　(7分) 　　(2)①∵AP＝x， 　　∴BF＝PG＝，PF＝1－　　(8分) 　　∴S△PBE＝BF·PF＝()　　(9分) 　　即(0＜x＜)　　(10分) 　�、�　　(11分) 　　∵＜0， 　　∴當(dāng)時(shí)，y最大值　　(12分) 　　(注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分．)