Question

【題目】如圖，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞直角頂點(diǎn)BB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，則PB：P′A的值為 ．

Answer 1

【答案】1：2
【解析】解：如圖，連接AP， ∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵ ，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′= PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
設(shè)P′A=x，則AP=3x，
根據(jù)勾股定理，PP′= = =2 x，
∴PP′= PB=2 x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故答案是：1：2．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．