Question

如圖，正方形ABCO放在平面直角坐標系中，其中點O為坐標原點，A、C兩點分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，點B的坐標為（-4，4）．已知點E、點F分別從A、點B同時出發(fā)，點E以每秒2個單位長度的速度在線段AB上來回運動．點F沿B→C→0方向，以每秒1個單位長度的速度向點O運動，當點F到達點O時，E、F兩點都停止運動．在E、F的運動過程中，存在某個時刻，使得△OEF的面積為6．那么點E的坐標為

 

．

Answer 1

分析：由于點E、F同時運動，根據(jù)它們位置的不同，可分成三種情況進行討論：0＜t≤2，2＜t≤4，4＜t＜8．

解答：解：設時間為t秒
①當0＜t≤2時，AE=2t，BE=4-2t，BF=t，F(xiàn)C=4-t，CD=4，
s_△OEF=s_{正方形OABC}-S_△AEO-S_△BEF-S_△OCF=16-4t-2（4-t）-t（2-t）=t²-4t+8，
∵s_△OEF=6，即t²-4t+8=6，解得t=2+

2

或t=2-

2

，又∵0＜t≤2，∴t=2-

2

．
此時，點E的坐標為（-4，4-2

2

）；
②當2＜t≤4時，AE=8-2t，BE=2t-4，BF=t，F(xiàn)C=4-t，CD=4，
s_△OEF=s_{正方形OABC}-S_△AEO-S_△BEF-S_△OCF=16-4（4-t）-2（4-t）-t（t-2）=-t²+8t-8，
∵s_△OEF=6，即-t²+8t-8=6，解得t=4+

2

或t=4-

2

，又∵2＜t≤4，∴t=4-

2

．
此時，點E的坐標為（-4，2

2

）；
③當4＜t＜8時，AE=2t-8，F(xiàn)C=t-4，OF=8-t，
s_△OEF=

1

2

×4×(8-t)=16-2t，
∵s_△OEF=6，即16-2t=6，解得t=5，此時，點E的坐標為（-4，2）；
故點E的坐標為（-4，4-2

2

），（-4，2

2

），（-4，2）．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，會用運動時間表示邊長，面積，搞清楚正方形中的三角形的三邊關系等，可有助于提高解題速度和準確率．