Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC=112°.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為多少？

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚骸?/span>AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）平分；（2）（2）t=59或14 （3）∠AOM－∠NOC=220

【解析】

試題（1）根據(jù)角平分線的定義和平角的定義求出∠COP=30°，即可證得直線ON平分∠AOC；

（2）當(dāng)ON繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，此時(shí)ON轉(zhuǎn)過60°，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為10秒；當(dāng)ON轉(zhuǎn)至銳角∠AOC內(nèi)部平分∠AOC時(shí)，ON轉(zhuǎn)過90°+150°=240°，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為40秒；

（3）根據(jù)∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=60°，得到∠AOM一∠NOC =30°.

試題解析：（1）直線ON平分∠AOC（如圖），理由如下：

∵OM平分∠BOC，且∠BOC=120°，

∴∠COM=60°，

又∠MON=90°，

∴∠POM=90°，

∴∠COP=30°，

又∠AOC=60°，

∴OP平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC.

（2）當(dāng)ON繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，ON平分∠AOC，此時(shí)ON轉(zhuǎn)過60°，

當(dāng)ON轉(zhuǎn)至銳角∠AOC內(nèi)部平分∠AOC時(shí)，ON轉(zhuǎn)過90°+150°=240°，

所以t=10或40（秒） ，

答：旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值為10秒或40秒.

（3） ∠AOM—∠NOC=30°，

∵∠AOM+∠AON=90°，

∠AON+∠NOC=60°，

∴∠AOM一∠NOC =30°.