Question

【題目】如圖，已知拋物線P：y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：

x	…	﹣3	﹣2	1	2	…
y	…		﹣4		0	…

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）若點D的坐標為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系，并指出m的取值范圍；

（3）當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=kDF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）；(2)SDEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；(3)k≠且k＞0．

【解析】

試題分析：（1）根據圖表可以得到，拋物線經過的四點的坐標，根據待定系數法，設y=ax2+bx+c,把其中三點的坐標代入，就可以求得函數解析式．進而可以求出A、B、C的坐標；（2）表示出矩形的長和寬是解決問題的關鍵，先證△ADG∽△AOC，AD=2﹣m，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以用m表示出DG的長，再根據△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，進而得到OE，于是ED就可以表示出來．因而S與m的函數關系就可以得到；（3）當矩形DEFG的面積S取最大值時，就是函數的值是最大值時，根據二次函數的性質就可以求出相應的m的值．則矩形的四個頂點的坐標就可以求出，根據待定系數法就可以求出直線DF的解析式．可以求出直線DF與拋物線的交點的坐標，根據FM=kDF，就可以表示出M的坐標，把M的坐標代入函數就可以得到一個關于k的方程，求出k的值，判斷是否滿足函數的解析式即可．

試題解析：（1）根據待定系數法，設y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三組值代入，求出解析式為y=x2+x﹣4，令y=0，求出x1=﹣4，x2=2；令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三點的坐標分別是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．（2）由題意，△ADG∽△AOC，所以，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又△BEF∽△BOC，所以，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2），故S=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（3）如下圖，連接DF并延長，∵SDEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2），∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6．當矩形面積最大時，其頂點為D（1，0），G（1，﹣2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），設直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=﹣，∴y=x﹣，又可求得拋物線P的解析式為：y=x2+x﹣4，令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=．設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有==，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是k≠且k＞0．