【題目】如圖,已知拋物線P:y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上),與y軸交于點C,矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上,頂點F、G分別在線段BC、AC上,拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | 1 | 2 | … |
y | … | ﹣4 | 0 | … |
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)若點D的坐標為(m,0),矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數關系,并指出m的取值范圍;
(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時,連接DF并延長至點M,使FM=kDF,若點M不在拋物線P上,求k的取值范圍.
【答案】(1)A(2,0),B(﹣4,0),C(0,﹣4);(2)SDEFG=12m﹣6m2(0<m<2);(3)k≠且k>0.
【解析】
試題分析:(1)根據圖表可以得到,拋物線經過的四點的坐標,根據待定系數法,設y=ax2+bx+c,把其中三點的坐標代入,就可以求得函數解析式.進而可以求出A、B、C的坐標;(2)表示出矩形的長和寬是解決問題的關鍵,先證△ADG∽△AOC,AD=2﹣m,根據相似三角形的對應邊的比相等,就可以用m表示出DG的長,再根據△BEF∽△BOC,就可以表示出BE,進而得到OE,于是ED就可以表示出來.因而S與m的函數關系就可以得到;(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時,就是函數的值是最大值時,根據二次函數的性質就可以求出相應的m的值.則矩形的四個頂點的坐標就可以求出,根據待定系數法就可以求出直線DF的解析式.可以求出直線DF與拋物線的交點的坐標,根據FM=kDF,就可以表示出M的坐標,把M的坐標代入函數就可以得到一個關于k的方程,求出k的值,判斷是否滿足函數的解析式即可.
試題解析:(1)根據待定系數法,設y=ax2+bx+c(a≠0),任取x,y的三組值代入,求出解析式為y=x2+x﹣4,令y=0,求出x1=﹣4,x2=2;令x=0,得y=﹣4,∴A、B、C三點的坐標分別是A(2,0),B(﹣4,0),C(0,﹣4).(2)由題意,△ADG∽△AOC,所以,而AO=2,OC=4,AD=2﹣m,故DG=4﹣2m,又△BEF∽△BOC,所以,EF=DG,得BE=4﹣2m,∴DE=3m,∴SDEFG=DGDE=(4﹣2m)3m=12m﹣6m2(0<m<2),故S=12m﹣6m2(0<m<2);(3)如下圖,連接DF并延長,∵SDEFG=12m﹣6m2(0<m<2),∴m=1時,矩形的面積最大,且最大面積是6.當矩形面積最大時,其頂點為D(1,0),G(1,﹣2),F(xiàn)(﹣2,﹣2),E(﹣2,0),設直線DF的解析式為y=kx+b,易知,k=,b=﹣,∴y=x﹣,又可求得拋物線P的解析式為:y=x2+x﹣4,令x﹣=x2+x﹣4,可求出x=.設射線DF與拋物線P相交于點N,則N的橫坐標為,過N作x軸的垂線交x軸于H,有==,點M不在拋物線P上,即點M不與N重合時,此時k的取值范圍是k≠且k>0.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】太陽與地球的平均距離大約是150 000 000千米,數據150 000 000用科學記數法表示為( )
A.1.5×108
B.1.5×109
C.0.15×109
D.15×107
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了進一步了解八年級學生的身體素質情況,體育老師對八年級(1)班50位學生進行一分鐘跳繩次數測試,以測試數據為樣本,繪制出部分頻數分布表和部分頻數分布直方圖.如下所示:
組別 | 次數x | 頻數(人數) |
第1組 | 80≤x<100 | 6 |
第2組 | 100≤x<120 | 8 |
第3組 | 120≤x<140 | a |
第4組 | 140≤x<160 | 18 |
第5組 | 160≤x<180 | 6 |
請結合圖表完成下列問題:
(1)表中的a= ;
(2)請把頻數分布直方圖補充完整;
(3)這個樣本數據的中位數落在第 組;
(4)若八年級學生一分鐘跳繩次數(x)達標要求是:x<120不合格;120≤x<140為合格;140≤x<160為良;x≥160為優(yōu).根據以上信息,請你給學;虬四昙壨瑢W提一條合理化建議: .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,OB是⊙O的半徑,PA切⊙O于點A,PB與AC的延長線交于點M,∠COB=∠APB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)當OB=3,PA=6時,求MB,MC的長.
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