Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是AB邊上任意一點(diǎn)，E是BC邊中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，CD．

（1）求證：四邊形CDBF是平行四邊形；

（2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=4，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8.

【解析】

（1）先證明出△CEF≌△BED，得出CF=BD即可證明四邊形CDBF是平行四邊形；

（2）作EM⊥DB于點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出BE，DF的值，再根據(jù)三角函數(shù)值求出EM的值，∠EDM=30°，由此可得出結(jié)論．

（1）證明：∵CF∥AB，

∴∠ECF=∠EBD．

∵E是BC中點(diǎn)，

∴CE=BE．

∵∠CEF=∠BED，

∴△CEF≌△BED．

∴CF=BD．

∴四邊形CDBF是平行四邊形．

（2）解：如圖，作EM⊥DB于點(diǎn)M，

∵四邊形CDBF是平行四邊形，BC=，

∴，DF=2DE．

在Rt△EMB中，EM=BEsin∠ABC=2，

在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，

∴DE=2EM=4，

∴DF=2DE=8．