Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=9，∠B=90°，BC=3

5

，tanA=

5

，P、Q分別是邊AB、CD上的動點（點P不與點A、點B重合），且有BP=2CQ．
（1）求AB的長；
（2）設(shè)CQ=x，四邊形PADQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）以C為圓心、CQ為半徑作⊙C，以P為圓心、以PA的長為半徑作⊙P．當四邊形PADQ是平行四邊形時，試判斷⊙C與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥AB，在Rt△AHD中解出AH，求得AB，
（2）當CQ=x時，則PB=2x，DQ=9-x，AP=12-2x，列出函數(shù)關(guān)系式，
（3）當四邊形PADQ是平行四邊形時，解出兩圓的半徑，然后判斷兩圓位置關(guān)系．

解答：解：（1）作DH⊥AB，
在Rt△AHD中，
tanA=

DH

AH

=

5

∴AH=

DH

5

=

BC

5

=

3 5

5

=3（2分）
∴AB=AH+HB=AH+CD=3+9=12（3分）

（2）依題意，當CQ=x時，則PB=2x，∴DQ=9-x，AP=12-2x（4分）
∴y=

1

2

（9-x+12-2x）×3

5

=-

9 5

2

x+

63 5

2

（0＜x＜6）（7分）

（3）當四邊形PADQ是平行四邊形時，DQ=AP（8分）
即9-x=12-2x∴x=3PB=2x=6∴⊙C的半徑CQ=3⊙P的半徑PA=12-2x=6（9分）
在Rt△PBC中，∠B=90°∴PC=

PB2+BC2

=

62+(3 5 )2

=9（10分）∴CQ+PA=PC（11分）
即兩圓半徑之和等于圓心距
所以⊙C與⊙P外切．（12分）

點評：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，還考查了解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，綜合性很強．