精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標;
(2)若點N為線段BM上的一點,過點N作x軸的垂線,垂足為點Q.當點N在線段BM上運動時(點N不與點B,點M重合),設(shè)NQ的長為t,四邊形NQAC的面積為s,求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)將△OAC補成矩形,使上△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(不需要計算過程).
分析:(1)利用交點式可以求出二次函數(shù)解析式,再利用公式法求出頂點坐標,
(2)運用兩點求出直線BM解析式,再表示出四邊形面積,
(3)根據(jù)使△PAC為直角三角形,三個角依次分析當?shù)扔谥苯菚r,得出不同結(jié)論.
(4)作出矩形,利用勾股定理可以求出.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a(x+1)(x-2),
∵-2=a×1×(-2),
∴a=1,
∴y=x2-x-2,其頂點坐標是(
1
2
,-
9
4
);

(2)設(shè)線段BM所在的直線的解析式為:y=kx+b(k≠0),
點N的坐標為N(h,-t),
0=2k+b
-
9
4
=
1
2
k+b
,
解它們組成的方程組得:
k=
3
2
b=-3
,
所以線段BM所在的直線的解析式為:y=
3
2
x-3,
N點縱坐標為:-t,
∴-t=
3
2
h-3,
∴h=2-
2
3
t,
其中
1
2
<h<2,
∴s=
1
2
×1×2+
1
2
(2+t)(2-
2
3
t)=-
1
3
t2+
1
3
t+3,
∴s與t間的函數(shù)解析式為,
s=-
1
3
t2+
1
3
t+3,
∵M點坐標是(
1
2
,-
9
4
);
∴QN最大值為:
9
4
,
∴自變量的取值圍是:0<t<
9
4


(3)存在符合條件的點P,且坐標是:P1
5
2
7
4
),P2
3
2
,-
5
4
).
設(shè)點P的坐標為P(m,n),則 n=m2-m-2,PA2=(m+1)2+n2精英家教網(wǎng)
PC2=m2+(n+2)2,AC2=5,
分以下幾種情況討論:
(。┤簟螦CP=90°則AP2=PC2+AC2
可得:m2+(n+2)2+(m+1)2+n2=5,
解得:m1=
5
2
,m2=-1(舍去).
所以點P(
5
2
,
7
4

(ⅱ)若∠PAC=90°,則PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
(m+1)2+n2=m2+(n+2)2+5
解得:m3=
3
2
,m4=0(舍去).所以點P(
3
2
,-
5
4
).
(ⅲ)由圖象觀察得,當點P在對稱軸右側(cè)時,PA>AC,所以邊AC的對角∠APC不可能是直角.

(4)以點O,點A(或點O,點C)為矩形的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊OA(或邊OC)的對邊上,
如圖,此時未知頂點坐標是點P(-1,-2),以點A,點C為矩形的兩頂點,精英家教網(wǎng)
第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上,
如圖,此時未知頂點坐標是P1(-1,-2),P2(-
1
5
2
5
)或
4
5
,-
8
5
).
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法,以及頂點坐標計算,四邊形面積計算,矩形的性質(zhì)等,綜合性比較強.
練習(xí)冊系列答案
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①a+b+c>0  ②a-b+c<0   ③abc<0   ④b=2a   ⑤b>0.
A、5個B、4個C、3個D、2個

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21、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,求它的解析式.

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已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,
(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點M的坐標;
(2)若點N為線段BM上的一點,過點N作NQ⊥X軸于點Q,當點N在BM上運動時(點N不與點B、點M重合),設(shè)NQ的長為t,四邊形NQAC的面積
沒有空
沒有空
為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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