Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，D為BC邊的中點，連接DP．
（1）DP是⊙O的切線；
（2）若，⊙O的半徑為5，求DP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP和BP，可證出∠BPD=∠PBD，再由OB=OP得出∠OPB=∠OBP，從而得出∠OPD=90°，從而證出DP是⊙O的切線；
（2）連接OD，在Rt△ABC中，可求得AC，再根據(jù)三角形的中位線定理得出OD的長，則求出DP的長．
解答：解：（1）證明：連接OP和BP，
∵AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D為BC邊的中點
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切線

（2）連接OD
在Rt△ABC中
∵，⊙O的半徑為5
∴
∵OA=OB，DC=DB
∴OD=AC=，
在Rt△OPD中，PD===．
點評：本題是一道綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和解直角三角形，熟練掌握切線的判定定理和三角函數(shù)是解此題的關(guān)鍵．