Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AE=AC．
（1）求∠EAC的度數(shù)；
（2）若AD=2，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，所以DE垂直平分AC，從而得到AE=EC，進(jìn)而判定出△AEC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）先求出∠AEF=30°，然后利用解直角三角形求出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AE，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）連接EC，
∵AD=DC，DE⊥AC于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，
∴DE垂直平分AC，
∴EC=EA，
又∵AE=AC，
∴AE=EC=AC，
∴△AEC是等邊三角形，
∴∠EAC=60°；

（2）∵DE⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AFE=90°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEF=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵AD=2，
∴AE=2cot30°=2，
∵∠ABC=90°，
∴CB⊥AE，
又∵△AEC是等邊三角形，
∴AB=AE=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，綜合題型，但難度不大，求出AEC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．